Explicación de las cáusticas de rayos en E&M

En Wikipedia la cáustica se define de la siguiente manera.

En óptica, una cáustica es la envoltura de rayos de luz reflejada o refractada por una superficie u objeto curvo, o la proyección de esa envoltura de rayos sobre otra superficie.

Puede pensar en la envolvente de una familia de curvas como una curva tangente a cada una de ellas.

Aquí hay un diagrama en la página 60 de "Un tratado sobre óptica" de David Brewster publicado en 1831.

Hay una fuente de luz en$R$y los rayos se reflejan en una superficie circular$MN$aunque sólo los rayos reflejados de parte$MB$son exhibidos.
El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión de cada uno de los rayos.
Ninguno de los rayos se encuentra con el eje principal en el mismo punto, aunque aquellos que golpean la superficie reflectante en posiciones$B, 1, 2$y$3$hacerlo aproximadamente y aquí es donde la imagen del objeto$R$se forma
El espejo cóncavo sufre de un defecto de espejo llamado aberración esférica.

Ahora, si miras todos los rayos en la mitad superior, definen un área sin luz y un área donde hay luz y, en particular, hay un sobre, que se muestra en rojo en el inferior de la mitad superior, que define lugares donde los rayos están en una tangente: esta es la curva cáustica y aquí hay una fotografía de uno, aunque es posible que vea uno con mucha frecuencia en su taza de café o té.

La curva cáustica es particularmente notable porque es más brillante porque hay más rayos que pasan a través de esa región que en otras regiones alrededor del reflector.

En el diagrama de arriba, la mitad de la sosa cáustica imaginaria la he coloreado de azul.
Esto se obtiene moviendo el objeto al otro lado del reflector.$MBN$de modo que actúa como un espejo convexo. Los rayos reflejados divergen, pero cuando se producen de nuevo forman la cáustica imaginaria azul.$Nf'M$.

En los últimos años se han utilizado cáusticos para encontrar exoplanetas.

Una estrella y su planta en órbita actúan como una lente gravitacional y forman una cáustica en un plano en ángulo recto con el plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, que se muestra en azul en el diagrama de la izquierda.
A medida que la órbita de la Tierra (mostrada en rojo) cruza la cáustica, la intensidad de la luz resultante de la cáustica cambia como se muestra en el gráfico de intensidad contra el tiempo.
Aunque la forma de la cáustica es muy compleja, esa misma complejidad significa que a partir de la cáustica se puede obtener información sobre la estrella y su exoplaneta.
El curso de edX "ASTRO2x Astrofísica: Exploración de exoplanetas" es una buena introducción a este efecto y a muchos otros que se utilizan para descubrir exoplanetas y sus propiedades.

Su comprensión de una cáustica real (supongo que la llama real en oposición a la cáustica imaginaria que menciona más adelante) es correcta.

Primero la parte fácil: una cáustica imaginaria es una cáustica situada en la extensión de los rayos de luz más allá del sistema óptico de donde llegan. Por ejemplo, en presencia de una lente convexa , se pueden formar cáusticos imaginarios detrás de la propia lente.

Luego la parte más difícil. La óptica geométrica se puede desarrollar bajo el supuesto de que la longitud de onda (para una onda monocromática)$\lambda$es mucho menor que cualquier otra longitud física en el proceso. En este caso, se puede demostrar que todas las cantidades físicas son proporcionales a

donde la funcion$\psi$es la fase de la onda. Superficies con$\psi =$Las constantes son superficies de onda, y las cáusticas son las regiones (si las hay) a las que llegan (al menos) dos superficies de onda distintas, digamos una con$\psi = \psi_1$y uno con$\psi=\psi_2$. Esta caracterización matemática es global, no local, porque la curvatura de los rayos de luz puede ocurrir de forma local o remota, y luego hacer que los fotones se crucen.

Existe otra caracterización de las cáusticas, mediante el eikonal angular : si te interesa, puedes encontrarla en la Teoría de Campos de Landau & Lifshitz. En ese caso, se demuestra que encontrar cáusticas es equivalente a encontrar soluciones múltiples en un sistema de cuatro ecuaciones.

Por último, tiene razón en que la óptica geométrica cercana a las cáusticas se descompone; de hecho, cuando los rayos cruzan las cáusticas, se produce este pequeño y simpático fenómeno por el cual su fase cambia exactamente$-\pi/2$, que por supuesto es inexplicable en óptica geométrica. Una vez más, consulte Landau y Lifshitz para obtener una explicación conmovedora.