¿Cómo incorpora el principio de Huygens la propiedad unidireccional de una onda viajera?

El enlace que diste me hizo buscar una respuesta más detallada y aprendí un hecho interesante:

La construcción de Huygens funciona en 1 y 3 dimensiones, ¡PERO NO EN DOS!

La teoría detrás de esto fue deducida primero por Fresnel y luego por Kirchoff; las matemáticas se explican en detalle en este artículo . Todo se reduce al hecho de que la ecuación de onda para las ondas que se propagan desde un punto se puede escribir como

donde$n$es la dimensionalidad. Para$n=1$o$n=3$el segundo término de la izquierda desaparece y la expresión se vuelve como la de una onda unidimensional que se propaga hacia afuera. Para$n=2$, como para las ondas en un estanque, de hecho hay otro término que da como resultado ondas que "viajan hacia atrás". En ese caso, la construcción habitual de Huygens no funciona (del todo).

Cosas bastante sutiles, y el hecho de que el tratamiento matemático ocurrió más de 100 años después de la publicación inicial de las ideas de Huygens (1679: publicación de "Traité de la Lumière"; Fresnel nació en 1788) es algo que no había apreciado previamente. . El tratamiento informal que se le da en el libro de French tiene sentido en el contexto de un gran libro que cubre mucho terreno rápidamente, pero agradezco que me haya llamado la atención sobre esta pregunta; es más interesante de lo que parecía a primera vista.

El principio de Huygens de tomar el casco convexo de las ondas esféricas emitidas por todos los puntos en un frente de onda le da dos nuevos frentes de onda: uno "hacia adelante" y otro "hacia atrás". Ambos son significativos: el frente de onda "hacia adelante" corresponde a la solución retardada de la ecuación de onda, el frente de onda "hacia atrás" corresponde a la solución avanzada de la ecuación de onda.

Ambos frentes de onda tienen un significado físico: el "atrás" es donde estaba la onda (si no se emitió en este instante, esto es crucial), el "adelante" es donde estará la onda , ya que la función de Green retardada se propaga las soluciones avanzan en el tiempo y las funciones avanzadas de Green las propagan hacia atrás en el tiempo. Esto simplemente debe deducirse de la ecuación de onda en sí, no se sigue del principio de Huygens.

Me gustaría agregar a la respuesta de ACuriousMind . Su respuesta enfatiza que las ecuaciones de Maxwell y otras ecuaciones que dan lugar al núcleo de onda esférica de Huygens en sus funciones de Green son inherentemente acausales y debemos forzar la causalidad manualmente a través de las condiciones de contorno apropiadas.

En los problemas de antena, simplemente descartamos la parte de onda avanzada de la solución para forzar una relación causal entre la fuente de corriente/voltaje y el campo.

En la teoría de la difracción de Kirchoff, se agrega un factor de oblicuidad $(1+\cos\theta)/2$para matar la ola avanzada. La teoría de Kirchoff "deriva" el factor de oblicuidad de las condiciones de contorno equivalentes en una rendija de difracción, pero las condiciones de contorno son equivalentes a un forzamiento de la causalidad.

Abordando su pregunta final:

"No entiendo cómo su razonamiento en realidad evita la posibilidad de formación de ondas de retorno. ¿Alguien puede ayudarme a visualizar lo que está diciendo? ¿Cómo mantiene su razonamiento la propagación unidireccional de las ondas? ¿Alguien puede explicar su argumento?" donde 'su' se refiere a Huygens:

Consulte "Tratado sobre la luz", Christiaan Huygens, 1678 (Forgotten Books 2012). En él, Huygens se ocupa de la onda hacia atrás en la página 21: "..., pero de ese modo simplemente generará hacia atrás hacia el punto luminoso algunas ondas parciales incapaces de causar luz, y no una onda compuesta de muchas como lo fue CE". Aquí, CE es el frente de onda en expansión (la envoltura de las ondículas) que se muestra en la figura de la página 19. Huygens consideró que el medio de propagación era el éter, que consistía en partículas de materia etérea, y aparentemente la propagación tuvo lugar a través de las partículas que chocaban con El uno al otro. Creo que su razonamiento sobre las ondas hacia atrás era que el movimiento de las partículas era principalmente hacia afuera, lejos del punto luminoso (el punto de origen del movimiento), por lo que cualquier movimiento de partículas en la dirección hacia adentro sería 'débil'.

Un recurso importante sobre el Principio de Huygens tal como se ha desarrollado desde su tiempo es "La teoría matemática del principio de Huygens", Baker y Copson, Chelsea 1987. Aquí se usa la fórmula de Poissons, página 14 a 20, para mostrar que no se producirá ninguna onda hacia atrás. formado. Más tarde, utilizando los resultados de Fresnel y Helmholtz, muestra lo mismo para las ondas monocromáticas, páginas 20 - 28. Sin embargo, quizás sea cuestionable si aún se ha realizado el trabajo final sobre este u otros temas del Principio de Huygens.

Según Voigt y Kirchoff, la contribución de wavelet depende de un ángulo ($Y$) que se forma con la normal de wavelet es$\frac12(1+\cos Y)$. Conocemos las formas de las ondículas$180$con la normal, por lo que su contribución es cero, según la fórmula matemática dada por Voigt y Kirchoff.