¿Cómo funciona la flotabilidad?

Idea básica

Imagina en tu mente un profundo océano de agua. Imagine una columna de agua, yendo desde la superficie hasta una profundidad$d$. Esa columna de agua tiene algo de peso$W$. Por lo tanto, hay una fuerza hacia abajo de magnitud$W$en esa columna de agua. Sin embargo, usted sabe que la columna de agua no está acelerando, por lo que debe haber una fuerza hacia arriba de magnitud$W$empujando esa columna. Lo único debajo de la columna es más agua. Por lo tanto, el agua a profundidad$d$debe estar empujando hacia arriba con fuerza$W$. Esta es la esencia de la flotabilidad. Ahora vamos a hacer detalles.

Detalles

El peso$W$de una columna de agua de área transversal$A$y altura$d$es

$$W(d) = A d \rho_{\text{water}}$$

dónde$\rho_{\text{water}}$es la densidad del agua. Esto significa que la presión del agua en la profundidad$d$es

$$P(d) = W(d)/A = d \rho_{\text{water}}.$$

Ahora suponga que coloca un objeto con área de sección transversal$A$y altura$h$en el agua. Hay tres fuerzas sobre ese objeto:

1. $W$: El propio peso del objeto.
2. $F_{\text{above}}$: La fuerza del agua sobre el objeto.
3. $F_{\text{below}}$: La fuerza del agua debajo del objeto.

Supongamos que la parte inferior del objeto está a profundidad$d$. Entonces la parte superior del objeto está en la profundidad.$d-h$. Usando nuestros resultados de antes, tenemos

$$F_{\text{below}} = P(d)A=d \rho_{\text{water}} A$$

$$F_{\text{above}}=P(d-h)A=(d-h)A\rho_{\text{water}}$$

Si el objeto está en equilibrio, no está acelerando, por lo que todas las fuerzas deben equilibrarse:

$\begin{eqnarray} W + F_{\text{above}} &=& F_{\text{below}} \\ W + (d-h) \rho_{\text{water}} A &=& d \rho_{\text{water}} A \\ W &=& h A \rho_{\text{water}} \\ W &=& V \rho_{\text{water}} \end{eqnarray}$

donde en la última línea definimos el volumen del objeto como$V\equiv h A$. Esto dice que la condición para el equilibrio es que el peso del objeto debe ser igual a su volumen por la densidad del agua. En otras palabras, el objeto debe desplazar una cantidad de agua que tenga el mismo peso que el objeto. Esta es la ley habitual de la flotabilidad.

A partir de esta descripción, creo que puede extenderse al caso de aire en lugar de agua, y gradiente de presión horizontal en lugar de vertical.

Creo que la presión que actúa sobre la superficie de la cosa más ligera tiene algo que ver con eso, pero eso es todo.

Este es en realidad el principio y el final de TODA la historia. Esto, en teoría, es todo lo que necesitas saber sobre la flotabilidad. Veamos cómo se desarrolla esta declaración y cómo conduce a los otros conocimientos que ha obtenido sobre la flotabilidad.

Simplemente imagina un diagrama de cuerpo libre para el cuerpo flotante/sumergido. Las únicas fuerzas sobre él son la presión, normal en todas partes a la superficie del cuerpo, y el peso del cuerpo.

La fuerza neta sobre el cuerpo del fluido circundante es entonces:

$$\mathbf{F} = \int_S\,p(\mathbf{r})\, \mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})\,\mathrm{d} S\tag{1}$$

donde sumamos las fuerzas de presión$p(\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})$actuando sobre los elementos de área$\mathrm{d} S$en la dirección de la unidad normal$\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})$en función de la posición$\mathbf{r}$sobre la superficie de la interfaz$S$entre el fluido y el cuerpo. Eso es todo al respecto. Por supuesto, es difícil ver a partir de (1) solo lo que le sucederá a un cuerpo sumergido en líquido, así que pasemos a respuestas más prácticas.

Hacemos un pequeño truco: resulta que siempre se puede suponer por problemas de flotabilidad que la superficie$S$en (1) es un límite cerrado de un volumen (incluso cuando se trata de problemas como barcos que, idealmente, no están totalmente sumergidos y el límite cerrado parecería a primera vista inaplicable). Primero formamos el producto interno de$\mathbf{F}$con un vector unitario arbitrario$\mathbf{\hat{u}}$y luego, dada la superficie cerrada, podemos aplicar el teorema de la divergencia a (1) para el volumen$V$dentro de la superficie cerrada$S=\partial\,V$:

$$\langle\mathbf{F},\,\mathbf{\hat{u}}\rangle=\oint_{\partial V}\,p(\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{u}}\cdot\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})\,\mathrm{d}S=\int_V\boldsymbol{\nabla}\cdot(p(\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{u}})\,\mathrm{d}V=\mathbf{\hat{u}}\cdot\int_V\boldsymbol{\nabla}(p(\mathbf{r}))\,\mathrm{d}V$$

que, dado el vector unitario$\mathbf{\hat{u}}$es arbitrario, significa:

$$\mathbf{F} = \int_V\boldsymbol{\nabla}(p(\mathbf{r}))\,\mathrm{d}V\tag{2}$$

y vamos a imaginar el campo de presión$p(\mathbf{r})$que estaría presente en el fluido dentro de la superficie si el fluido no fuera desplazado por el cuerpo que ocupa el volumen$V$. De (2) podemos ver inmediatamente el segundo conocimiento del que ha oído hablar:

los globos obtienen su "sensación de descenso" a partir de un diferencial de presión . [negrita mía]

es decir, no hay fuerza de flotación neta sobre el cuerpo a menos que la presión$p$varía de un lugar a otro. De lo contrario,$\boldsymbol{\nabla}(p(\mathbf{r}))$es idénticamente cero.

Si no se siente completamente cómodo con el teorema de la divergencia, piense y analice un cubo sumergido. En un fluido donde la presión no varía con la posición, la fuerza en cada cara está exactamente balanceada por la fuerza opuesta en la cara opuesta. Otro caso que da intuición es una esfera en un fluido con una presión constante en todas partes: la fuerza en cualquier punto se equilibra con precisión con la fuerza opuesta en el punto antípoda. El argumento del teorema de la divergencia simplemente te permite inferir la generalidad de conclusiones como esta que puedes hacer para objetos simétricos.

Ahora pasemos a un campo de presión que le resultará familiar como buceador; tomando el$\mathbf{\hat{z}}$dirección como hacia abajo, el campo de presión dentro de un fluido inmóvil que se encuentra en la superficie de un planeta de radio mucho mayor que las profundidades que debemos considerar es:

$$p(\mathbf{r}) = (p_0+\rho\,g\,z)\,\mathbf{\hat{z}}\tag{3}$$

dónde$\rho$es la densidad del fluido,$g$la aceleración gravitatoria y$p_0$la presión en$z=0$. Si enchufamos esto en (2) obtenemos:

$$\mathbf{F} = \rho\,g\,\mathbf{\hat{z}}\,\int_V\,\mathrm{d}V = \rho\,g\,V_f\,\mathbf{\hat{z}}\tag{4}$$

dónde$V_f$es el volumen de fluido desplazado. Este es, por supuesto, el principio de Arquímedes; se cumple para regiones de fluido lo suficientemente pequeñas como para que la variación de presión sea una función lineal de la posición. Aunque parece estar diciendo que el "fluido desplazado empuja hacia atrás" como muchas explicaciones vagas del estado de flotabilidad, pero esto no tiene sentido. El fluido desplazado ni siquiera está allí: el principio es simplemente el resultado de aplicar trucos matemáticos para traducir el principio fundamental, que está incorporado en el texto que cité en la primera línea de esta respuesta y en (1) y el " retroceso de fluido desplazado" simplemente un mnemotécnico para recordar el principio.

Dos comentarios más están en orden:

1. En primer lugar, tenga en cuenta que la respuesta en (4) es independiente de$p_0$, Por lo tanto, si el cuerpo no está completamente sumergido (como el casco de un barco en funcionamiento), entonces simplemente podemos tomar la intersección del volumen con el fluido como el volumen$V$; la intersección de la superficie del fluido con el volumen limita el volumen reducido y la contribución de la fuerza en la cara superior es cero (ya que podemos establecer arbitrariamente$p_0=0$sin cambiar nuestros resultados).
2. En segundo lugar, nuevamente, si no se siente cómodo con el teorema de la divergencia, haga el análisis de un cubo con sus bordes verticales y horizontales como ejemplo aclaratorio. Aunque la fuerza de presión varía a lo largo de las superficies verticales, las superficies de presión en cada cara vertical todavía están exactamente opuestas a las de la cara opuesta. La fuerza neta es la diferencia entre la fuerza en las caras inferior y superior del cubo, que, por (3), es la fuerza calculada por el principio de Arquímedes.

Como buceador, sabes que la presión aumenta a medida que profundizas.

Imagine un cilindro sostenido verticalmente bajo el agua. La fuerza en la parte superior del cilindro es presión por área (por definición de presión). En el fondo del cilindro el área es la misma pero la fuerza es mayor (más profundo, más presión). La diferencia entre los dos es la fuerza de flotabilidad.

Cuando tiene un objeto de "cualquier" forma, puede pensar que está hecho de infinitos cilindros delgados (pajitas con los extremos cerrados, si lo desea). Ahora puede repetir el cálculo para cada uno de estos. Eso demuestra que esto se mantiene incluso cuando el objeto tiene una forma divertida.

Sucede que la diferencia es igual al peso del agua desplazada, pero creo que lo anterior es menos abstracto.

¡Recuerda siempre tu parada de seguridad!

Bueno, siempre lo he considerado como una atracción gravitatoria sobre un estado de no equilibrio.

Trate de imaginar 2 bolas diferentes, una encima de la otra, cayendo del cielo (en la atmósfera terrestre). Si la bola más ligera está encima de la bola más pesada, la bola más ligera se separará de la bola más pesada. Si la bola más pesada está encima de la bola más ligera, entonces tenemos 2 opciones:

1. Estado de equilibrio: lo que significa que la pelota más pesada está directamente encima de la pelota más liviana. No habrá fuerzas que aceleren la pelota hacia los lados, solo hacia abajo. Las bolas caerán como una sola.
2. La pelota más pesada está ligeramente de costado con respecto a la pelota más liviana (todavía se tocan). En este caso, la bola más pesada rodará hacia los lados de la bola más ligera e irá por debajo de la bola más ligera (acelerando más rápido).

Ahora trata de imaginar esto con millones de bolas cayendo por el cielo. Es un poco lógico que los más pesados ​​vayan debajo de los más ligeros, ¿no?

(Esta no es realmente una respuesta de 'física', es más un ejemplo simple del concepto muy básico)

La presión en su sentido más simple es solo una fuerza que actúa sobre un área. Imagina todas las partículas en el aire del coche. La presión del aire es realmente una medida de la fuerza promedio con la que estas partículas se empujan entre sí. Cuando traemos un globo de helio para que flote en el automóvil, las partículas de aire empujan contra las partículas de helio y las partículas de helio empujan las partículas de aire.

Entrando en un poco de ingeniería estática aquí; las fuerzas de los átomos de helio empujan en todas las direcciones diferentes, pero dado que todos están contenidos en el globo y todos empujan con la misma cantidad de fuerza, podemos suponer que todas estas fuerzas se anulan entre sí, y las únicas fuerzas que afectan al globo como un todo son externos. En este punto, sin que actúen fuerzas sobre él, el globo podría empujarse libremente en cualquier dirección prácticamente sin fuerza. Sin embargo, el aire no lo empuja a ninguna parte porque el aire también empuja el globo desde todas las direcciones y, por lo tanto, también se cancela a sí mismo.

Ahora la fuerza se calcula como Masa * aceleración (es decir, un lanzamiento de bolos en la cabeza lo golpeará más fuerte que una canica que se mueve a la misma velocidad porque tiene más masa y, por lo tanto, más fuerza). La aceleración a nivel molecular es directamente proporcional a la temperatura. Dado que la temperatura de todos los gases en el automóvil es la misma, podemos cancelar esto, y lo único que afecta la fuerza con la que empujan las partículas es la masa de las partículas.

Volviendo a nuestro automóvil: la gravedad atrae todas las partículas del automóvil con la misma aceleración constante, 9,8 m/s^2. Las partículas de aire son atraídas hacia abajo con una fuerza igual a su masa * 9,8 m/s^2. Las partículas de helio también son atraídas con la misma aceleración, pero dado que su masa es mucho menor que la del oxígeno, el nitrógeno y otras partículas en el aire, su fuerza hacia abajo es mucho menor y son empujadas hacia arriba por la mayor cantidad de partículas. partículas de aire contundentes. Por eso el globo flota.

A continuación, el coche empieza a moverse. Siguiendo la ley de la inercia (un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo hasta que una fuerza externa actúa sobre él), aunque el automóvil comience a moverse hacia adelante, las partículas de gas permanecen en su lugar. Imagina una bola flotando sobre tu tablero que permanece en esta ubicación absoluta sin importar cómo te muevas. Tire un pie hacia adelante y ahora está sobre la consola central. Otro par de pies y está en tu asiento trasero. Esto es exactamente lo que sucede con todas las partículas de gas en el automóvil. Ahora todas las partículas se han trasladado a la parte trasera del vehículo y hay muchas menos en la parte delantera. Dado que ahora hay más partículas de aire detrás del globo para empujar contra él que detrás de él, las fuerzas ya no se cancelan entre sí y el globo es empujado hacia adelante.

Espero que esto ayude a explicarlo más claramente. Lo siento, esto fue bastante prolijo, ¡avísame si necesitas algo mejor explicado!