¿Cómo cambia el parámetro de Hubble con la edad del universo?

Para calcular la constante de Hubble necesitamos un factor de escala ,$a(t)$. Esta es una medida de cuánto se ha expandido el universo. Tomamos el factor de escala como la unidad en el momento actual, por lo que si$a = 2$eso significa que el universo se ha expandido el doble que ahora. Igualmente$a = 0.5$significa que el universo se había expandido solo la mitad de lo que se ha expandido ahora. La constante de Hubble se calcula a partir del factor de escala usando ( consulte la respuesta de Pulsar aquí para obtener más detalles ):

$$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \tag{1}$$

Calculando como$a$varía con el tiempo se hace usando la ecuación (ver la respuesta de Pulsar nuevamente):

$$t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,a' + \Omega_{K,0}\,a'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,a'^4}} \tag{2}$$

Hacer el cálculo no es tan difícil. Hay una hoja de cálculo de Google con el cálculo aquí . Los valores de los distintos parámetros se toman de los datos de Planck:

$$\begin{align} H_0 &= 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} &= 9.24\times 10^{-5},\\ \Omega_{M,0} &= 0.315,\\ \Omega_{\Lambda,0} &= 0.685,\\ \Omega_{K,0} &= 0 \end{align}$$

Y los resultados parecen:

Las unidades de tiempo son la hora actual del Hubble,$1/H_0 \approx 14.5$mil millones de años, entonces$1$en el eje del tiempo corresponde a$14.5$mil millones de años. Tenga en cuenta que la línea no pasa por el punto$(1,1)$porque el tiempo actual del Hubble es mayor que la edad del universo ,$13.798$mil millones de años. Esto se debe a que la expansión del universo se ha ralentizado con el tiempo desde el Big Bang.

En tiempos tempranos esperamos que el factor de escala esté dominado por la materia, y esto da una$t^{2/3}$dependencia. En los últimos tiempos, esperamos que el factor de escala esté dominado por la energía oscura y esto da una dependencia exponencial de$t$. El gráfico muestra esto muy bien, con el cambio en algún lugar alrededor de la mitad del tiempo del Hubble.

Como problema secundario, es un fastidio no tener una fórmula analítica para$a(t)$así que ajusté la siguiente función para obtener una fórmula aproximada razonablemente precisa:

$$a(t) \approx c_1 t^{2/3} + c_2 \left( e^{t/c_3} - 1\right)$$

Los mejores valores de ajuste para los coeficientes fueron:

$$\begin{align} c_1 &= 0.822 \\ c_2 &= 0.0623 \\ c_3 &= 0.645 \end{align}$$

Y el ajuste se parece a:

No encaja mal, aunque tenga cuidado al extrapolar más allá$t = 2/H_0$.

Y finalmente podemos calcular la constante de Hubble usando la ecuación (1). Tenga en cuenta la escala logarítmica: la constante de Hubble tiende al infinito cuando$t \rightarrow$cero.:

Y el tiempo del Hubble es el justo$1/H_0$:

Los gráficos muestran que la constante de Hubble definitivamente no es constante, aunque tiende a un valor constante al final del tiempo. Esto se debe a que la expansión del tiempo tardío está dominada por la energía oscura y la expansión se vuelve exponencial con el tiempo. El aumento exponencial significa que hay un tiempo de duplicación constante (lo opuesto al decaimiento exponencial donde hay una vida media constante) y el tiempo de duplicación es simplemente el tiempo de Hubble. Así que el tiempo del Hubble tiende a ser constante.

Aquí dejo el post. Si alguien quiere detalles de cómo se obtienen las ecuaciones (1) y (2), comente y puedo agregar otra respuesta con los detalles sangrientos.

Una versión más corta de la respuesta de John que solo se enfoca en lo que sucede con el parámetro del Hubble en el futuro.

La solución a la ecuación de Friedmann en un universo plano es

$$H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{\Lambda c^2}{3},$$ dónde $\rho$es la densidad de la materia (incluida la materia oscura) y $\Lambda$es la constante cosmológica.

A medida que el universo se expande,$\rho$por supuesto disminuye a medida que$a(t)^{-3}$, pero$\Lambda$permanece constante. Por lo tanto, el primer término en el RHS deja de ser importante si de hecho$\Lambda$es una constante cosmológica.

Por lo tanto, el parámetro de Hubble en realidad disminuye desde su valor actual$H_0$y asintóticamente tiende a$H = \sqrt{\Lambda c^2/3}$como el tiempo tiende hacia el infinito.

Una forma más conveniente de escribir lo anterior es expresar todas las densidades en términos de la densidad crítica. En ese caso

$$H^2 = H_0^2 (\Omega_m a^{-3} + \Omega_{\Lambda}),$$ dónde $H_0$es el parámetro actual de Hubble, $\Omega_m$es la relación actual entre la densidad de la materia y la densidad crítica, que evoluciona como el cubo inverso del factor de escala $a$, y $\Omega_{\Lambda}$es la densidad de energía constante (supuesta) del vacío expresada como una relación con la densidad crítica.

Así como$a$crece, entonces el parámetro de Hubble tiende hacia$H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \sim H_0 \sqrt{2/3}$.