¿Por qué no hay un centro de carga?

No hay un "centro de carga" que simplifique completamente los cálculos porque tampoco hay un centro de gravedad que haga esto.

Dos cuerpos rígidos sienten una gravedad que es bastante similar a la de las masas puntuales, pero no exactamente igual. A menos que los objetos sean esferas perfectas, sienten fuerzas de marea , que dependen en segundo orden y derivadas superiores del potencial.

Solo podemos calcular las interacciones gravitatorias como puntos en el centro de masa si queremos ignorar estos efectos de segundo orden. En el día a día, usar la gravedad para cosas como jugar béisbol con tu sobrino, está bien. Las fuerzas de marea suelen ser muy pequeñas en las aplicaciones que encontramos porque los fenómenos son pequeños en comparación con las escalas de longitud características involucradas (por ejemplo, la trayectoria de una pelota de béisbol es pequeña en comparación con el radio de la Tierra, el diámetro de la Tierra es bastante pequeño en comparación con la distancia Tierra-Sol , etc.)

De hecho, podemos hacer la misma aproximación de primer orden en electrostática que hacemos en la gravedad newtoniana. En la práctica, normalmente se usa un procedimiento ligeramente diferente, llamado expansión multipolar . Primero, se fija un punto de referencia. La carga total, llamada momento monopolar, es independiente de este punto de referencia, por lo que si desea que su aproximación de primer orden sea buena, es aconsejable elegir un punto de referencia cerca del centro de su distribución de carga. Luego, los efectos de orden superior se calculan en relación con el punto de referencia calculando dipolo , cuadrupolo, y momentos superiores de la distribución de carga. Es más probable que estos órdenes superiores entren en juego en la vida cotidiana en la electrostática que en la gravedad porque el tamaño de las distribuciones de carga es similar a la separación entre cuerpos cargados (por ejemplo, dos globos que frotaste en tu cabeza y con los que estás jugando no están muy lejos). separados entre sí, en comparación con sus diámetros).

También te puede interesar la novela de ciencia ficción dura "Incandescencia", en la que una especie de seres que viven dentro de un gran asteroide que orbita alrededor de un agujero negro observan los efectos de las mareas para descubrir la relatividad general sin siquiera ver el mundo exterior. Es una demostración interesante de cómo se ven los efectos de gravedad de orden superior más allá de la aproximación del centro de masa.

El autor, Greg Egan, tiene una página web que explica los efectos de las mareas descritos en su novela aquí .

De la misma manera que los cuerpos que están lejos de ti pueden aproximarse como masas puntuales, las distribuciones de carga que están lo suficientemente lejos pueden aproximarse como cargas puntuales, con carga total$Q$, y entonces, de hecho, calcularías algo como el centro de carga.

Esta es la primera parte de la llamada expansión multipolar: comienza aproximando una distribución de carga$\varrho(x)$por una carga puntual de carga$Q = \int dx \varrho(x)$. El siguiente paso sería mirar el momento dipolar,$p = \int dx x\varrho(x)$, seguido del momento cuadripolar, etc.

Normalmente no hablamos del centro de carga de las distribuciones porque las distribuciones de carga más útiles son neutras, con carga total$Q=0$, y por lo tanto ni siquiera tiene sentido definir

• Para sistemas neutros, la cantidad equivalente de interés es el momento dipolar eléctrico,

  $$\mathbf d=\int \mathbf r\rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r,$$ que tiene la propiedad de que el término principal en el potencial electrostático en los puntos$\mathbf r$lejos de la distribución de carga está dada por $$\varphi(r) = \frac{\mathbf d\cdot\mathbf r}{r^3} + O(1/r^3).$$ A diferencia del centro de carga, hablamos de momentos dipolares eléctricos todo el tiempo.

• Para un sistema cargado, el momento dipolar todavía juega un papel, pero es secundario: lejos de la distribución, el potencial electrostático se puede describir mejor en la forma

  $$\varphi(r) = \frac{Q}{r}+\frac{\mathbf d\cdot\mathbf r}{r^3} + \frac{p_2(x,y,z)}{r^5} + O(1/r^4), \tag{$*$}$$ dónde$p_2$es un polinomio homogéneo de grado 2; estos son los primeros tres términos en la expansión multipolar de ese potencial. Como puede ver, el momento dipolar ahora está relegado al término sublíder, con el término líder dado por la carga.

  Además, para sistemas cargados, el momento dipolar se vuelve menos útil como cantidad, porque se vuelve dependiente de la posición del origen; por lo tanto, si desplaza su sistema de coordenadas por$\mathbf r_0$, el momento dipolar cambia como$\mathbf d\mapsto \mathbf d-Q\mathbf r_0$. Esto significa, por lo tanto, que el centro de carga tiene la propiedad muy específica de que

  el centro de carga de una distribución de carga con carga total distinta de cero es la posición donde desaparece el momento dipolar eléctrico de la distribución.

  En términos de la expansión multipolar$(*)$, esto es importante, porque el término sublíder (que va como$\sim 1/r^2$) desaparece, por lo que obtiene una contribución de monopolo (que va como$\sim 1/r$) corregido por un término cuadripolar que va como$\sim 1/r^3$, un orden de magnitud que la corrección dipolar.

Las cargas por interacción electrostática determinan la fuerza de interacción. En este sentido son similares a las masas que determinan la fuerza gravitacional.

Sin embargo, cuando observamos la dinámica de las partículas, es la masa de la partícula la que determina la inercia de la partícula, cualquiera que sea la naturaleza de la fuerza. En este sentido las masas son diferentes de las cargas. De acuerdo con las ecuaciones de Newton, el centro de masa tiene sentido como una posición de cuasipartícula (el sistema como un todo).

En cambio, la distribución de carga se puede describir y, a menudo, se describe como factores de forma de carga del sistema.

Los comentarios debajo de la pregunta que intenta responder se archivan en esta publicación.

Hay una razón simple por la que hablamos de centros de masa y nunca de centros de carga. La analogía sería sensata si el centro de masa fuera el lugar donde actúa la fuerza gravitatoria, que actúa sobre las masas. La fuerza gravitacional viene dada por$Gm_1m_2/r^2$, y del mismo modo, el electrostático podría ser$Q_1Q_2/4\pi\epsilon r^2$. Sin embargo, no es por eso que usamos el centro de masa. Usamos el centro de masa para simplificar el lado derecho de$F=ma$- cuando calculamos la aceleración$a$- y aparece en la combinación$ma$incluso para fuerzas eléctricas.

^{Luboš Motl 07 abr.}

Entonces, siempre podemos imaginar que las fuerzas, incluidas las gravitatorias, las electrostáticas, las magnéticas y otras, actúan "en el centro de masa". La masa es especial porque es lo que determina la inercia de los objetos. ... También puede calcular la ubicación promedio de un cambio, por ejemplo, por$\int \rho\, \vec r\, dV / \int \rho \, dV$. Sin embargo, esta cantidad no entrará en ninguna ecuación importante ni en sus simplificaciones y, además, puede estar mal definida porque el denominador, la carga total, puede desaparecer. El denominador de masa, la masa total, siempre es positivo para los objetos.

^{Luboš Motl 07 abr.}

"Al determinar la atracción gravitatoria entre 2 cuerpos sólidos, podemos simplificar los cálculos considerando que sus masas se concentran en sus respectivos centros de masa". Esto está mal. Esto solo funciona para una esfera. Para un objeto no esférico, no obtienes la respuesta correcta de esta manera. Además, el centro de masa en general no es lo mismo que el centro de gravedad (en los casos en que el campo no es uniforme).

^{usuario4552 19 ago.}

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Puede definir algo como el centro de masa para la carga, pero puede estar indefinido, cuando la carga total es igual a cero.

Eche un vistazo a la definición del momento dipolar también.

La definición de un centro de masa se basa en la simetría de las partículas con una carga de masa. Es decir, que son todos del mismo signo. Esto a menudo permite reducir el problema a una descripción geométricamente simple. Para la carga eléctrica hay dos signos y, por lo tanto, esta simetría simple no existe en distancias cortas, aunque, como se mencionó anteriormente, se puede aproximar a distancias grandes.