¿La ley de Torricelli es "incorrecta" para agujeros grandes? - Problema de drenaje del tanque

Para responder tu pregunta :-

Pero, ¿qué sucede si no hacemos esa suposición sobre el tamaño del agujero y simplemente reemplazamos la primera ecuación?

Pero entonces ya no podemos usar la ecuación$\frac{1}{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2}v_{1}^{2} + gh_{1}$, porque la suposición$A_{2} \ll A_{1}$es necesario derivar esta ecuación, es decir, la aplicación de Bernoulli Equ (BE) requiere que asumamos$A_{2} \ll A_{1}$. La razón de esto es que necesitamos aproximar el movimiento del fluido como un flujo constante para usar BE. BE se deriva de un tubo de corriente bajo un flujo constante de un fluido ideal (es decir, incompresible e invisible), por ejemplo, véase University Physics, Sears & Zemansky 13th Ed, p385 .

Al aplicar BE directamente para derivar la Ley de Torricelli (TL), estamos tratando el fluido en el tanque como si fuera un tubo de corriente. En particular, el requisito de flujo constante significa que debemos tener$A_{2} \ll A_{1}$, y por lo tanto$v_{1} \ll v_{2}$, de modo que en un pequeño intervalo de tiempo$\Delta t$el nivel de líquido cae solo una cantidad muy pequeña. Cuando hay una velocidad significativa$v_{1}$esta suposición se rompe: la aproximación de flujo constante ya no es buena. Un experimento simple muestra que, en la práctica, la velocidad de salida varía con el tiempo a medida que cae la altura y, por lo tanto, no hay un flujo constante real, sino solo aproximadamente cuando$A_{2} \ll A_{1}$. También con una mayor$A_{2}$existe la posibilidad de una turbulencia significativa en el flujo.

Para ver exactamente cómo es necesaria esta aproximación de flujo constante y también para responder a su pregunta: -

"¿Cómo derivarías la ley de Torricelli sin la ecuación de Bernoulli?"

podemos considerar el cuerpo de fluido durante un corto tiempo$\Delta t$y la relación trabajo energía para ello. (Tenga en cuenta que el tanque puede tener una forma compleja, con lados y fondo curvos). La derivación de TL a continuación es paralela a la derivación en el libro anterior de BE para un tubo de corriente bajo flujo constante, pero he discutido con un poco más de detalle las suposiciones simplificadas necesarias para TL con respecto a las fuerzas que actúan sobre y dentro del fluido, y observé cómo la aproximación de flujo constante es necesaria para simplificar el cálculo de$\Delta KE$. Esto muestra por qué TL no se aplica en ciertas situaciones, como la de su publicación. La relación trabajo energía es

$$W^{(NC)} = \Delta ME$$

dónde$W^{(NC)}$= trabajo de todas las fuerzas no conservativas (NC) sobre el fluido, y$\Delta ME = \Delta KE + \Delta PE$= suma de los cambios en la energía cinética y la energía potencial del fluido, a lo largo del tiempo$\Delta t$.

La relación trabajo-energía anterior es aplicable a cualquier cuerpo o sistema de partículas (donde se aplica la mecánica newtoniana). En este caso, las fuerzas NC comprenden todas las fuerzas distintas de la gravedad. Estas fuerzas NC que actúan sobre el fluido comprenden:

1. Fuerzas NC externas

   a) fuerzas debidas a presiones$p_{1}$y$p_{2}$

   b) fuerzas ejercidas sobre el fluido desde los lados y el fondo del recipiente

   Como se supone que el fluido no es viscoso, la componente "friccional" tangencial de b) es cero, dejando solo una componente normal. Suponemos que la velocidad de cualquier elemento de fluido adyacente al costado/fondo del recipiente siempre es puramente tangencial al costado/fondo, por lo que la componente normal de b) no realiza trabajo en ese elemento de fluido. (Suponemos que no hay ningún tipo de colisión inelástica que provoque la pérdida de KE del fluido).

2. Fuerzas NC internas

   Estos son ejercidos sobre un elemento fluido por elementos fluidos adyacentes. En un flujo laminar, un elemento adyacente se moverá con el elemento, en cuyo caso las fuerzas internas iguales y opuestas realizan un trabajo neto cero, ya que su punto de aplicación es común, o se deslizará a través del elemento con una fuerza viscosa cero. , por lo tanto, realiza trabajo cero (el componente normal entre los elementos no realizará trabajo durante dicho deslizamiento, ya que es perpendicular al movimiento). (Tenga en cuenta que tales elementos que se mueven juntos son similares a los elementos de un cuerpo rígido general, y en el último caso podemos mostrar que el trabajo neto de las fuerzas internas es cero porque estas fuerzas vienen en pares iguales y opuestos que actúan sobre las caras internas entre los elementos, cada par tiene un punto común de aplicación).

Así en total,$W^{(NC)}$se debe puramente a las dos fuerzas de presión, que actúan normalmente sobre las superficies del fluido,$p_{1}$en la dirección del movimiento y$p_{2}$En contra :-

$$\begin{eqnarray*} W^{(NC)} &=& p_{1}A_{1}\Delta s_{1} - p_{2}A_{2}\Delta s_{2} \\ &=& \Delta V(p_{1} - p_{2}), \end{eqnarray*}$$

dónde$\Delta V = A_{1}\Delta s_{1}$= volumen de región$R_{1}$(figura 1) =$A_{2}\Delta s_{2}$= volumen de región$R_{2}$(Figura 1).

De la Fig. 1, dado que la densidad$\rho$es uniforme, se pierde la misma masa en$R_{1}$como se gana en$R_{2}$, y la masa en$R_{3}$es el mismo antes y después, así que tenemos

$$\begin{eqnarray*} \Delta PE &=& \rho g \Delta V(y_{2} - y_{1}) \\ &=& -\rho g \Delta V h \end{eqnarray*}$$

Para determinar$\Delta KE$observe la KE del fluido que se mueve a velocidad$v_{1}$se pierde en la región$R_{1}$, y KE del fluido que se mueve a velocidad$v_{2}$se gana en la región$R_{2}$, mientras que KE en general en la región$R_{3}$sigue siendo el mismo, ya que por la suposición de un flujo aproximadamente constante, el campo de velocidad a lo largo$R_{3}$permanece igual durante$\Delta t$(esto es efectivamente asumiendo$R_{3}$es una contribución de menor orden de magnitud a$\Delta KE$que el efecto combinado de$R_{1}$y$R_{2}$). De este modo

$$\Delta KE = \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{2}^{2} - \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{1}^{2}.$$

Juntando las ecuaciones anteriores y dividiendo por$\Delta V$obtenemos

$$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2}\rho(v_{2}^2 - v_{1}^{2}) - \rho gh.$$

En el caso típico donde$p_{1}$y$p_{2}$ambos están a presión atmosférica, esto se reduce a la ecuación

$$\frac{1}{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2}v_{1}^{2} + gh$$

y así a

$$\frac{1}{2}v_{2}^{2} = gh$$

debido a$v_{1}$siendo pequeño, por lo tanto, conduce a TL.

Otro escenario en el que TL falla se analiza en la pregunta SE "¿Por qué la ley de Torricelli parece fallar cuando el agua se acelera después de que meto el dedo en una manguera?", Donde se drena un tanque de una manguera conectada al orificio de salida, y Se observa que la velocidad de salida aumenta si se coloca un dedo parcialmente sobre el extremo de la manguera. Aquí TL se rompe debido a las suposiciones con respecto a$W^{(NC)}$ya no es válido: la fricción juega un papel mucho más importante dentro de la sección transversal estrecha de la manguera que a lo largo de los límites más anchos del tanque, y se introduce algo de turbulencia. El flujo general es más complejo que el escenario simplificado de TL. La fricción contribuye en una cantidad negativa a$W^{(NC)}$y reduce KE del valor dado por TL. (TL establece que toda la pérdida de PE se convierte en KE a la salida). Estrechar la salida de la manguera también introduce una fuerza en el fluido, lo que provoca colisiones inelásticas y pérdida de KE, pero debido a su efecto de desaceleración también tiene el efecto de reducir la fricción dentro de la manguera. Incluso si la KE general fuera menor debido al estrechamiento de la salida de la manguera, la velocidad de salida aún podría aumentar ya que la tasa de flujo volumétrico del fluido = Av, y A ha disminuido.

Otro experimento interesante para intentar con TL es un caso donde$p_{1} \neq p_{2}$. Aquí encontramos de manera contraria a la intuición que la velocidad de salida es CERO : -

Haz un agujero cerca del fondo de una botella de plástico y llénala con agua y enrosca la tapa. ¡Entonces el agua no saldrá del agujero! (He probado esto con agujeros de 3 mm y 8 mm de diámetro). Lo que ha sucedido es que la cavidad de aire por encima del agua se ha expandido ligeramente (alrededor del 1 % más o menos), a medida que el nivel del agua cae ligeramente, de modo que la presión (según la Ley de Boyle) cae aproximadamente un 1 % (es decir, unos pocos centímetros de agua). presión - tenga en cuenta la presión del agua a 10 m = 1 atm = aproximadamente 100 000 Pa). La presión del agua en el orificio es igual a la presión atmosférica, por lo que no se produce flujo. En otras palabras tenemos$p_{1} < p_{2}$, y$p_{1} - p_{2} = -\rho gh$- y por lo tanto de la ecuación anterior$v_{2} = 0$. Si inclinamos la botella hacia un lado gradualmente, llega un punto en el que el nivel del agua se reduce lo suficiente como para causar una disminución de la presión justo dentro del orificio lo suficientemente por debajo de la presión atmosférica para que el aire se abra paso hacia el orificio, lo que hace que fluya una corriente de burbujas. en la cavidad de aire. Desenroscar la tapa mientras la botella se sostiene verticalmente causará inmediatamente$p_{1} = p_{2}$, y el agua fluirá por el agujero (y TL volverá a ser válido). Si vuelve a enroscar la tapa, el flujo se detendrá inmediatamente. TL falla aquí porque$p_{1} \neq p_{2}$. El principio de este experimento es el mismo que el conocido experimento del vaso de agua invertido con una tarjeta.

Un caso donde la suposición$A_{2} \ll A_{1}$podría averiarse pero no ser un problema, es cuando se usa TL para calcular los tiempos de vaciado para ciertas formas de recipiente, por ejemplo, un tanque cilíndrico horizontal, donde$A_{2} \ll A_{1}$claramente no es válido cuando el nivel de líquido está cerca de la parte superior o inferior del tanque. Sin embargo, se obtiene una fórmula válida para todos los niveles no demasiado cerca de la parte superior o inferior, y en el límite esto aún da una buena aproximación al tiempo de vaciado.

(Esta fórmula, obtenida resolviendo una ecuación diferencial es:

$$\Delta t = \frac{L}{3A_{H}} \sqrt{\frac{8}{g}} \left[ (D - y_{2})^{3/2} - (D - y_{1})^{3/2} \right ],$$

dando tiempo para que el nivel baje de$y_{1}$a$y_{2}$, dónde$D$= diámetro,$L$= longitud,$A_{H}$= área del agujero - como por ejemplo citado en esta hoja de datos , con 'coeficiente de descarga' aproximadamente 1).

No creo que sea un problema tan grande como parece.

Considere la suposición de estado estacionario con más detalle.$v_2$es la velocidad final que pasa por el agujero después de que ha pasado suficiente tiempo para que ocurra la aceleración. Inmediatamente después de abrir el agujero, todo está estacionario. Hay una fase de aceleración que normalmente se supone que dura poco tiempo.

Esta suposición es distinta de la$A_1 \gg A_2$suposición, pero la combinación de ellos causa estragos en los escenarios donde el agujero es grande en comparación con el área de la superficie del agua. Después de todo,$h_1$está en la expresión para$v_2$. Eso significa que tenemos dos factores en el trabajo 1) la aceleración inicial del fluido suprime la velocidad desde el principio y 2) el agotamiento del nivel del agua suprime la velocidad hacia el final del flujo. Así que para responder a tu pregunta:

Entonces la pregunta es: ¿Qué efecto tiene, si eliminamos la suposición de que "A2<< A1" en la derivación de la ley de torricelli?

Creo que lo hiciste correctamente. Se predice un flujo infinito debido a supuestos obviamente incorrectos. Simplemente no tiene tiempo para acelerar antes de que el nivel del agua disminuya sustancialmente, y podría usar esto para derivar algunos límites de aplicabilidad muy claros, fuera de los cuales, el flujo nunca se acerca a la predicción de la ecuación.

El principio de Bernoulli es una simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes , es decir, supone una densidad constante y un estado estacionario .

En la situación donde$A_2$tiene casi la misma superficie que$A_1$será difícil satisfacer la suposición de que el sistema está en estado estacionario. En la vida real, también habrá algunas pérdidas por fricción, pero si las ignora, puede decir que el líquido está en caída libre, por lo que la velocidad aumentará linealmente con el tiempo y, por lo tanto, nunca se alcanzará el estado estacionario.

También tenga en cuenta que cuando el orificio se acaba de abrir, el flujo tampoco estará en estado estable. Sin embargo, el tiempo que se tarda en lograr un caudal más o menos constante suele ser muy pequeño en comparación con el tiempo que se tarda en drenar el tanque.