Pérdida por fricción en un flujo de tubería vertical

Question

Pérdida por fricción en un flujo de tubería vertical

Ghartal

Hice este problema para comprender mejor la presión y la pérdida de presión en el flujo vertical.

Considere el siguiente sistema estacionario, donde un fluido entra a un tanque y sale a través de una tubería vertical de longitud $L$ y diametro $D=2R$ . La altura del fluido en el tanque es constante y es igual a $H$ . La densidad y la viscosidad del líquido son $\rho$ y $\mu$ , respectivamente. Si el flujo es laminar encontrar $Q$ .

Ahora, si escribo la ecuación de Bernoulli para la superficie libre del tanque y el punto de salida de la tubería, obtengo

\frac{{PAG}_{a t metro}}{γ} + \frac{v_{0}^{2}}{2 gramo} + z_{0} = \frac{{PAG}_{a t metro}}{γ} + \frac{v^{2}}{2 gramo} + z + h_{yo},

$\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v_0^2}{2g}+z_0=\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}+z+h_l,$ dónde

h_{L}

$h_L$ es la carga de pérdida por fricción de la tubería de salida y

v = Q / (π R^{2})

$v=Q/(\pi R^2)$ y

γ = ρ g

$\gamma= \rho g$ . Lo sabemos

v_{0} \approx 0

$v_0 \approx 0$ , de este modo

H + L = \frac{v^{2}}{2 gramo} + h_{L}

$H+L=\frac{v^2}{2g}+h_L$ Ahora necesitamos encontrar otra relación entre

v

$v$ y

h_{L}

$h_L$ . ¿Podemos usar la ecuación de Darcy-Weisbach? ¡Creo que no podemos debido al flujo vertical! Estoy interesado en escribir el balance de momento y derivar la relación entre la pérdida por fricción y la velocidad (como la ecuación de Hagen-Poiseuille), ¡pero no sé cómo tratar los términos de presión! ¿Hay una distribución de presión a lo largo de la tubería de salida?

Edit1: el balance de momento para el flujo laminar en la tubería da la velocidad como

v_{z} (r) = \frac{R^{2}}{4 m} (- \frac{d pag}{d z} + ρ gramo) (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}})

$v_z(r)=\frac{R^2}{4 \mu}\left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) \left(1-\frac{r^2}{R^2} \right)$ Y la integración sobre la sección transversal de la tubería para el caudal da

q = π r^{2} v = \int_{0}^{R} 2 π r v_{z} (r) d r = \frac{π R^{4}}{8 m} (- \frac{d pag}{d z} + ρ gramo)

$Q=\pi r^2 v=\int_{0}^{R} 2 \pi r v_z(r) \ dr=\frac{\pi R^4}{8 \mu} \left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right)$ Y finalmente

- \frac{d pag}{d z} + ρ gramo = \frac{32 m v}{D^{2}}

$-\frac{dp}{dz}+ \rho g=\frac{32 \mu v}{D^2}$ Ahora, ¿cuál de los siguientes es correcto y por qué?

1) $h_L=L(-dp/dz)/ \gamma=\frac{32 \mu v L}{\gamma D^2}-L$

2) $h_L=L(-dp/dz+ \rho g)/ \gamma=\frac{32 \mu v L}{\gamma D^2}$

no tengo sentido de $p$ ¡aquí! ¿Puede dar una sensación física de presión dentro de la tubería que sale?

Edit2: Las respuestas y discusiones en esta pregunta pueden resolver las siguientes preguntas similares:

Q1 , Q2 , Q3 .

usuario73762

Su problema se resolvería calculando explícitamente la pérdida de presión debido a la fricción (que expresa como "pérdida de carga por fricción"

h_{l}

$h_l$ ). Eso depende de si su flujo es lo suficientemente rápido para ser turbulento o permanece laminar (y, por lo tanto, de su número de Reynolds en la tubería). El flujo laminar (lento o viscoso) es lo suficientemente fácil como para que, si lo presionan, pueda obtener una solución por integración, utilizando la viscosidad del fluido; el resultado será una fuerza proporcional a la velocidad. Para flujos turbulentos, solo hay aproximaciones fenomenológicas; la fuerza se vuelve cuadrática en velocidad.

Ghartal

@pyramids Quiero derivar fórmulas para flujo laminar, si es posible.

Chet Miller

En su ecuación diferencial, está midiendo z hacia abajo . Entonces, en z = L, la presión es atmosférica. Si integra su ecuación diferencial sujeta a esta condición de contorno, obtiene

pag (z) = {pag}_{a t metro} - ρ gramo (L - z) + \frac{32 m v}{D^{2}} (L - z)

$p(z)=p_{atm}-\rho g(L-z)+\frac{32\mu v}{D^2}(L-z)$ El peso del fluido hace que la presión aumente con z, y el arrastre viscoso hace que la presión disminuya con z.

Ghartal

Oh, esto tiene sentido :) Realmente aprecio el tiempo que dedicaste a responder mi pregunta.

Chet Miller

En Q1 y Q2, para un fluido no viscoso, si la presión es atmosférica en ambos extremos, el fluido no podrá mantener contacto con las paredes del tubo. La sección transversal del fluido se hará más pequeña a medida que el fluido se mueve hacia abajo y su velocidad aumentará. De lo contrario, si puede mantener el contacto, la ecuación hidrostática se cumplirá en el tubo vertical y la presión en la entrada será menor que la atmosférica.

Gert

@ChesterMiller: ¿has visto esta pregunta? física.stackexchange.com/questions/371138/ … . Me parece recordar que resolviste algo similar, teniendo en cuenta las aceleraciones. Mejores registros.

Respuestas (3)

Pérdida por fricción en un flujo de tubería vertical

Su problema se resolvería calculando explícitamente la pérdida de presión debido a la fricción (que expresa como "pérdida de carga por fricción" $h_l$ ). Eso depende de si su flujo es lo suficientemente rápido para ser turbulento o permanece laminar (y, por lo tanto, de su número de Reynolds en la tubería). El flujo laminar (lento o viscoso) es lo suficientemente fácil como para que, si lo presionan, pueda obtener una solución por integración, utilizando la viscosidad del fluido; el resultado será una fuerza proporcional a la velocidad. Para flujos turbulentos, solo hay aproximaciones fenomenológicas; la fuerza se vuelve cuadrática en velocidad.
@pyramids Quiero derivar fórmulas para flujo laminar, si es posible.
En su ecuación diferencial, está midiendo z hacia abajo . Entonces, en z = L, la presión es atmosférica. Si integra su ecuación diferencial sujeta a esta condición de contorno, obtiene $pag (z) = {pag}_{a t metro} - ρ gramo (L - z) + \frac{32 m v}{D^{2}} (L - z)$ $p(z)=p_{atm}-\rho g(L-z)+\frac{32\mu v}{D^2}(L-z)$ El peso del fluido hace que la presión aumente con z, y el arrastre viscoso hace que la presión disminuya con z.
Oh, esto tiene sentido :) Realmente aprecio el tiempo que dedicaste a responder mi pregunta.
En Q1 y Q2, para un fluido no viscoso, si la presión es atmosférica en ambos extremos, el fluido no podrá mantener contacto con las paredes del tubo. La sección transversal del fluido se hará más pequeña a medida que el fluido se mueve hacia abajo y su velocidad aumentará. De lo contrario, si puede mantener el contacto, la ecuación hidrostática se cumplirá en el tubo vertical y la presión en la entrada será menor que la atmosférica.
@ChesterMiller: ¿has visto esta pregunta? física.stackexchange.com/questions/371138/ … . Me parece recordar que resolviste algo similar, teniendo en cuenta las aceleraciones. Mejores registros.

Chet Miller · Answer 1

Puede usar la ecuación de Darcy-Weisbach, pero debe modificarla un poco para el flujo vertical. En flujo vertical, un balance de fuerza diferencial en el flujo da:

(PAG (z + Δ z) - PAG (z)) \frac{π D^{2}}{4} + ρ gramo \frac{π D^{2}}{4} Δ z = τ_{w} Δ z π D

$(P(z+\Delta z)-P(z))\frac{\pi D^2}{4}+\rho g \frac{\pi D^2}{4}\Delta z=\tau_w\Delta z \pi D$ donde z es la elevación sobre el fondo del tubo y

τ_{w}

$\tau_w$ es el esfuerzo cortante en la pared. Entonces,

\frac{d (PAG + ρ gramo z)}{d z} = \frac{4}{D} τ_{w}

$\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{4}{D}\tau_w$ Para flujo laminar,

τ_{w} = \frac{F}{4} \frac{ρ v^{2}}{2}

$\tau_w=\frac{f}{4}\frac{\rho v^2}{2}$ donde f es el factor de fricción de Darcy-Weisbach. Entonces, combinando las dos ecuaciones, se obtiene:

\frac{d (PAG + ρ gramo z)}{d z} = \frac{F}{D} \frac{ρ v^{2}}{2}

$\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2}$ Para un tubo horizontal, solo tendrías:

\frac{d PAG}{d z} = \frac{F}{D} \frac{ρ v^{2}}{2}

$\frac{dP}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2}$ Entonces, para el flujo vertical, simplemente reemplaza la P en la ecuación del flujo horizontal por

P + ρ g z

$P+\rho gz$ .

Gracias Señor. Por favor, eche un vistazo a mi nueva edición de la pregunta.

usuario73762 · Answer 2

Esta no es una respuesta completa, solo un resumen de cómo obtener una fórmula para el perfil de velocidad y, por lo tanto, la pérdida de presión a través de la sección transversal de una tubería. Modelaré la tubería como infinitamente larga y horizontal para simplificar el problema; el resultado aún debería ser aplicable, pero debe usarse con una presión de agua adecuada debido a la gravedad en el caso de una tubería vertical.

La fuerza viscosa está parametrizada por la viscosidad de un fluido. $\eta$ . Expresado como presión perpendicular a un gradiente de velocidad en el $x$ -dirección, es $\frac{\partial p}{\partial y} = \eta \frac{\partial v}{\partial x}$ dónde $v$ es la velocidad local (esencialmente, $\dot{y}$ ). Esta expresión debe transformarse en coordenadas cilíndricas (para la tubería cilíndrica). Junto con las relaciones habituales (y quizás una condición de continuidad), eso debería permitir derivar un perfil de flujo $v(r)$ , que es parabólica; la solución se da, por ejemplo, en Hiperfísica .

Tener un perfil de flujo $v(r)$ permite calcular las fuerzas viscosas y obtener la caída de presión total (por unidad de longitud de tubería) integrando sobre la sección transversal de la tubería. Esa sería la respuesta (parcial) que me propuse esbozar.

En realidad, mi principal problema es la diferencia entre flujos horizontales y verticales. En el flujo de tubería horizontal, tiene una presión aplicada (por ejemplo, usando una bomba) y tiene una distribución de presión a lo largo de la tubería. Pero en mi caso, ¿cuál será la presión? ¿Podemos calcular la presión en un punto arbitrario a lo largo de la tubería de salida?
Debido a la continuidad y la simetría, su perfil de flujo es el mismo en cualquier ubicación vertical. Por lo tanto, la pérdida de presión por unidad de longitud es la misma en todas partes, excepto que en el caso de una tubería vertical, debe agregar el efecto de la gravedad (que creo que ya ha tenido en cuenta por separado). Por lo tanto, realmente no importa que su tubería sea vertical, a menos que sea tan larga que la presión en algún lugar caiga a cero y se creen vacíos, violando la continuidad.

Profundo · Answer 3

El agua fluye en la tubería impulsada por un gradiente de presión constante igual a $\rho g$ . Entonces puede aplicar la ecuación DW siempre que el flujo sea laminar.

Respuesta a la edición de la pregunta:

Escrito $-\frac{dp}{dz}+\rho g$ separó la contribución debida a la gravedad al gradiente de presión que actúa sobre el fluido. Por lo tanto $-\frac{dp}{dz}$ es cualquier gradiente de presión aplicado por medios distintos a la gravedad (por ejemplo, usando una bomba), que en su caso es cero.

Esto significa que $v=\gamma D^2 /32 \mu$ , lo que hace que la velocidad sea independiente de $L$ .
Has asumido un flujo completamente desarrollado, por lo que $v$ depende solo de la distancia radial y no de la distancia axial.
Entonces, la pérdida por fricción en la tubería no tiene efecto sobre la velocidad de salida. También da $h_l=L$ y reduce la ecuación de Bernoulli a $v^2=2gH$ , pero pensé que este problema debe ser diferente de la ley de Torricelli.

Pérdida por fricción en un flujo de tubería vertical

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