¿Presión cerca de un orificio sumergido?

Supongamos que tapo con corcho una botella de vino vacía sellándola en el aire gaseoso a 1 atmósfera de presión. Luego sumerjo la botella en una columna de líquido como se muestra en el LHS de la figura a continuación. La presión en el punto "p", denotada como$p_1$, es mucho mayor que la presión en la botella de vino; la botella de vino mantiene el aire en su interior a 1 atmósfera de presión. (Entonces$p_1>>p_2$). El punto "p" es una distancia "pequeña"$(\Delta x)$lejos de la boca/corcho de la botella. La boca de la botella es circular con un radio$r_d$. Si pudiera quitar instantáneamente el corcho en$t_o$,

1. ¿Cómo cambiaría la presión en el punto p con el tiempo hasta que el sistema llegara al equilibrio (en$t_f$)?

2. ¿Cómo se haría para estimar la evolución de la presión en el punto p en función del tiempo? (desde el modelo más simple hasta los modelos más sofisticados)

Editar 1

Inicialmente, creo que el problema puede analizarse utilizando alguna forma de ecuación de balance de energía (o mecánica) (donde el fluido de la columna de fluido puede considerarse incompresible, ligeramente comprimible o comprimible), alguna forma de ecuación de boquilla u orificio, y el ideal o Ley de los gases reales.

Actualmente, visualizo la presión en el punto "p" para responder como se muestra en la imagen a continuación:

Editar 2

Hice un intento basado en la respuesta de @ChesterMiller, pero adopté un enfoque un poco más simplista. Me gustaría describir lo que hice y mostrar mis resultados. A su vez, me gustaría pedir amablemente críticas sobre lo que hice y cómo puedo mejorar el modelo físico.

Volví a imaginar la configuración física del sistema como se muestra en el LHS de la figura a continuación. En la figura se observan las propiedades de la columna de líquido y de la botella de gas.

La presión justo aguas arriba del orificio mientras el sello estaba intacto se calculó como

$$\tag{1} p_2=p_3+\rho_2 g z_2$$

La masa y los moles de gas sellados en la botella se calcularon utilizando la ley de los gases ideales, donde

$$\tag{2} pV=nRT$$ $$\tag{3} n=m/M_w$$

Entonces$m=0.911$kg y$n=0.03253$kmol.

El RHS de la imagen a continuación muestra cómo se suponía que el líquido ingresaba y ocupaba la botella de gas. Se asumió que el gas permanecería en la botella (como se muestra en la imagen anterior) y se comprimiría a medida que la botella se llena con el líquido. Se supone que la altura de la columna de líquido permanece constante y la velocidad del líquido en la parte superior de la columna ($\vec v_3$) se supone que es cero (0 m/s).

Para comenzar, calculé la velocidad del líquido que ingresa a la botella justo cuando se rompe el sello, en el momento$t=0$s. Asumí la presión justo aguas arriba del orificio,$p_2$, disminuyó instantáneamente a la presión del gas atmosférico, 101.325 kPa, que es la presión dentro de la botella al otro lado del orificio. La velocidad del líquido se calculó utilizando la ecuación de Bernoulli,

$$\tag{4} p_3+0.5\rho_3 \vec v_3^2+\rho_3gh_3=p_{2,new}+0.5\rho_2 \vec v_{2,new}^2+\rho_2gh_2$$

El caudal volumétrico se calculó como

$$\tag{5} Q=\vec v_{2,new}A_{orifice}$$ dónde$A_{orifice}=\pi (0.1 m)^2 /4 = 0.007853.. m^2$

Desde este punto elegí un incremento de tiempo de$\Delta t = 0.07 s$(a través de un poco de prueba y error), y luego seguí iterativamente estos 7 pasos de cálculo:

1. Calcular el volumen de líquido que ha entrado en la botella:$V_{l,enter}=Q*\Delta t$.

2. Calcular el nuevo volumen de gas comprimido:$V_{g,new}=V_{g,old}-V_{l,enter}$.

3. Calcule la nueva presión del gas comprimido:$p_{g,new}=\frac{nRT}{V_{g,new}}$.

4. Ajuste la presión justo aguas arriba del orificio,$p_2$, igual a la nueva presión del gas comprimido.

5. Use la ecuación de Bernoulli para calcular la nueva velocidad del líquido que ingresa,$v_{2,new}$, basado en la nueva presión de salida,$p_2$(o$p_{g,new}$).

6. Calcular el nuevo caudal volumétrico:$Q=\vec v_{2,new}A_{orifice}$

7. Vuelva al paso 1.

   Siguiendo este procedimiento, encontré que la presión justo aguas arriba del orificio evolucionaba con el tiempo, como se muestra en el siguiente gráfico:

Si hay pasos erróneos tomados en lo anterior, ¿cuáles son? ¿Cómo podría mejorar este modelo?

Editar 3

Al imaginar un flujo hemisférico convergente justo aguas arriba del orificio, vea la imagen a continuación, he intentado calcular la presión dentro de la columna de líquido a medida que la botella de gas se llena con el tiempo.

El procedimiento de cálculo utilizado fue el siguiente:

1. Calcule la velocidad del líquido en el orificio en t=0s utilizando Bernoulli (ecuación (4)) asumiendo$p_2=p_g$en el instante en que se rompe el sello.
2. Calcule la tasa de flujo volumétrico que ingresa a la botella de gas usando la velocidad del líquido del orificio y el área del orificio (ecuación (5)).
3. Calcule la velocidad del líquido a diferentes distancias$R$sobre el orificio utilizando Bernoulli suponiendo un flujo hemisférico convergente. Las áreas superficiales de los hemisferios se calcularon como $$\tag{6} A_{hemi}=2\pi R^2$$ y las velocidades en cada$R$fueron calculados como$\vec v_R=Q/A_{hemi}$.
4. Calcule la velocidad del líquido en la parte superior de la columna de líquido,$\vec v_{3,new}$, donde se supone flujo lineal.
5. Calcular la presión a diferentes distancias$R$encima del orificio usando la ecuación de Bernoulli y usando las variables recién calculadas:$\vec v_{3,new}$y$\vec v_R$, y la energía potencial en$R$($=\rho g R$).
6. Establecer un incremento de tiempo discretizante$\Delta t$.
7. Calcular el volumen de líquido que ha entrado en la botella de gas.
8. Calcule el volumen del gas recién comprimido.
9. Calcule la presión del gas recién comprimido.
10. Fije la presión en el orificio igual a la presión del gas recién comprimido.
11. Usando Bernoulli, calcule la nueva velocidad del líquido en el orificio usando la presión del gas recién comprimido como la presión de salida e incluya la velocidad del líquido en la parte superior de la columna de líquido. (Suponga que la presión en la parte superior de la columna de líquido es constante).
12. Vuelva al Paso 2.

A continuación se muestran dos gráficos de la salida de los cálculos que se acaban de describir. El gráfico superior muestra la presión, mientras que el gráfico inferior muestra la velocidad del líquido dentro del sistema en función del tiempo.

Estos gráficos/cálculos muestran que la presión de un diámetro de orificio (R=0,10 m) por encima del orificio es esencialmente la presión que se calcularía para la condición estática. Solo se produce una caída de presión significativa a la mitad del diámetro del orificio (R=0,05 m) por encima del orificio.

Me di cuenta de que cambiar el diámetro del orificio no cambia la velocidad del fluido, sino que cambia la tasa de flujo volumétrico y, por lo tanto, el tiempo para llenar la botella de gas. Este resultado fue un poco sorprendente y me pregunto si esto es un artefacto en una o más de las suposiciones que he hecho hasta este punto.

Nuevamente, me gustaría pedir amablemente críticas sobre lo que hice y cómo puedo mejorar el modelo físico.