Alargamiento en barra con fuerzas aplicadas desiguales

Como notas correctamente, la solución es diferente cuando las fuerzas aplicadas no son iguales. La barra no está en equilibrio estático: tanto las fuerzas estáticas como las dinámicas deforman la barra en movimiento. Estos conceptos se ilustran por superposición.

$$\delta = \delta_\text{static} + \delta_\text{dynamic} \qquad = \frac {F_\text{less}L}{EA} + \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})L}{2AE}$$

---

Durante los cambios de aceleración (cuando$\frac{\mathrm{d\;a(t)}}{\mathrm{dt}} \neq 0$), las fuerzas y aceleraciones dentro del cuerpo sólido amortiguado son transitorias, donde$a(x,t)$, hasta que alcanzan el estado estacionario, donde$\frac{\partial{\;a(x,t)}}{\partial{x}} = 0$.

^{Las deformaciones transitorias en cuerpos sólidos se ilustran mediante un sistema masa/resorte, en el que se puede pensar que cada elemento de masa representa un elemento de masa diferencial.}

La Segunda Ley de Newton requiere que la barra (de masa$M$) acelerar en la dirección de$F_{net}$.

$$\sum F \;\text{on bar:} \qquad F_\text{more}-F_\text{less} = Ma \qquad \Rightarrow \;\therefore a = \frac{F_\text{more} - F_\text{less}}{M}$$

La derivación de la deformación se muestra cuando una sola fuerza actúa sobre la barra.

Deformación dinámica:

Se toma un diagrama de cuerpo libre en una sección transversal arbitraria de la barra, donde la masa del cuerpo dividido es$m = (\frac{M}{L})x$. Suma de las fuerzas que actúan sobre$m$se resuelve para$T(x)$.

$$\sum F \;\text{on split body:} \qquad F_{o} - T = ma$$ $$F_{o} - T = \overbrace{\left(\frac{M}{L}x\right)}^\text{m} \overbrace{\left(\frac{F_{o}}{M}\right)}^\text{a} = \frac{F_{o}}{L}x \qquad \Rightarrow \qquad T = F_{o} - \frac{F_{o}x}{L}$$ $$\therefore T = F_{o}\left(1-\frac{x}{L}\right)$$ La deformación axial estática ( $\delta = \frac{FL}{AE}$) escrito en forma diferencial:
$$\mathrm{d \delta} = \frac{T \mathrm{dx}}{AE} = \frac{[F_{o}(1-\frac{x}{L})]\mathrm{dx}}{AE}$$ Integre la deformación diferencial sobre la longitud de la barra para determinar la deformación total: $$\delta = \int_0^L \mathrm{d \delta} \; = \frac{F_{o}}{AE} \int_0^L 1-\frac{x}{L} \mathrm{dx} \implies \; \delta = \frac{F_{o}L}{2AE}$$

La derivación se puede generalizar para incluir ambas fuerzas, donde la integración de$T(x) = F_\text{more} - \dfrac{F_\text{more}-F_\text{less}}{L}x$da como resultado la misma solución dada por superposición.

$$\therefore \delta = \; \overbrace{\frac{F_\text{more}L}{2AE} + \frac{F_\text{less}L}{2AE}}^\text{Integration} \;=\; \overbrace{\frac{F_\text{less}L}{AE} + \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})L}{2AE}}^\text{Superposition}$$

---

Referencias:

• Análisis de Tensión y Deformación de Barras Elásticas Lineales en Tracción
• Introducción a la elasticidad

$$T= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})x}{L}$$

dónde$T$es la tensión en el alambre,$x$es la distancia de$F_\text{more}$

Considere la misma parte,

Ahora,

Estrés

$$\frac{T}{A} = Y\frac{dn}{dx}\;,$$

dónde$n$es el alargamiento en el alambre.

$$\frac{T}{A}= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{LA}\;x= Y\frac{dn}{dx}\\\implies \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})}{L}\; xdx= YdnA$$

Sobre la integración de ambos lados

$$F_\text{more}\;x - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{L}\;\frac{x^2}{2} = YNA$$

Poniendo los limites

$$F_\text{more}\;L - (F_\text{more}-F_\text{less})\;\frac{L}{2}= YNA\\ \implies \frac{F_\text{more}- \dfrac{(F_\text{more}- F_\text{less})}{2}}{A} = \frac{YN}{L}= \text{stress in wire}\;.$$

Por lo tanto, el alargamiento

$$N =\frac{L\left(F_\text{more} - \dfrac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{2}\right)}{AY}\;.$$