Tensión de la cuerda y cambio en la longitud de la cuerda

Question

Tensión de la cuerda y cambio en la longitud de la cuerda

homies sherlock

Una masa m cuelga simétricamente de 3 cuerdas con ángulos de base iguales. Los ángulos de la base son de 45 grados. Entonces, la tensión de la cuerda central es vertical a la carga mg. ¿Cómo se puede encontrar el delta l de la cuerda media y lateral? Sé que las dos cuerdas laterales tendrán la misma carga y, por lo tanto, el mismo cambio de longitud.

Hice la suma de las fuerzas verticales y ahora termino mirando la pregunta de cómo avanzar más para resolver las tensiones s1 y s2 y también el cambio de longitud.

También se dan E y A para el cálculo de delta l.

Respuestas (2)

Tensión de la cuerda y cambio en la longitud de la cuerda

Chet Miller · Answer 1

Sea la distancia vertical entre el techo y el punto donde se unen las 3 cuerdas $L+\Delta L$ . La longitud original de la cuerda lateral es $L\sqrt{2}$ . Del teorema de Pitágoras, la nueva longitud de la cuerda lateral es $\sqrt{L^2+(L+\Delta L)^2}=\sqrt{2L^2+2L\Delta L+(\Delta L)^2}$ . Si linealizamos esto con respecto a $\Delta L$ , obtenemos $L\sqrt{2}(1+\frac{\Delta L}{2L})$ . Entonces el cambio en la longitud de la cuerda lateral es

L \sqrt{2} (1 + \frac{Δ L}{2 L}) - L \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} Δ L

$L\sqrt{2}(1+\frac{\Delta L}{2L})-L\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Delta L$ Entonces, la deformación por tracción en la cuerda lateral es

ϵ = \frac{(L / \sqrt{2})}{(L \sqrt{2})} = \frac{1}{2} \frac{Δ L}{L}

$\epsilon=\frac{(L/\sqrt{2})}{(L\sqrt{2})}=\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}$ Entonces la tensión en la cuerda lateral es

T_{S R} = \frac{mi A}{2} \frac{Δ L}{L}

$T_{SR}=\frac{EA}{2}\frac{\Delta L}{L}$ La tensión en el segmento de cuerda vertical entre el techo y el punto donde se unen las tres cuerdas es:

T_{V R} = mi A \frac{Δ L}{L}

$T_{VR}=EA\frac{\Delta L}{L}$ Entonces, la tensión en la cuerda lateral es la mitad de la tensión en el segmento de cuerda vertical.

El resto del análisis es sencillo y solo implica hacer el balance de fuerzas de equilibrio.

Hice los cálculos y obtuve la tensión media de la cuerda como mg/(sqrt2+2)
Se linealiza al ignorar un término como $(\frac{\Delta L}{L})^2$ como insignificantemente pequeño en comparación con la unidad y en comparación con $(\frac{\Delta L}{L})$
Obtengo el doble de tu valor por la tensión en la cuerda del medio.
¿Es porque olvidé el otro lado en algún lugar de mis cálculos? Obtuve la relación entre delta l1 y l2 de la siguiente manera: delta l1 = sqrt2*delta l2 usando los lados como proporciones correspondientes.
No sé. Tendría que ver tu álgebra. Lo primero que debe hacer es resolver la tensión de la cuerda central a partir del equilibrio de fuerza vertical, como lo hizo. Mi ecuación para eso fue $T_{V R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = metro gramo$ $T_{VR}(1+\frac{1}{\sqrt{2}})=mg$ donde el segundo término entre paréntesis proviene de la combinación de las dos cuerdas laterales.
En realidad, mediante una pequeña manipulación matemática de la respuesta, obtengo $T_{V R} = (2 - \sqrt{2}) metro gramo$ $T_{VR}=(2-\sqrt{2})mg$
Hola, Chester, ¿puedo usar la relación de la longitud de los lados del trencilla original con la estirada? ¿Puedes ver si obtienes los mismos resultados que yo arriba? Gracias. ¿Eres profesor?
Como un tipo que trabajó en reología y ciencia de los materiales, solo me siento cómodo usando el teorema de Pitágoras (o una forma cinemática más general) para obtener los cambios de longitud. Para los casos en los que sabe de antemano que las deformaciones van a ser pequeñas, es válido utilizar el enfoque que utilizó. Sin embargo, sigo sintiendo que hay menos margen de error si se usa la versión de gran deformación y luego se toma el límite de pequeños desplazamientos o deformaciones. No soy un profesor. Soy ingeniero industrial jubilado.

kryomaxim · Answer 2

Tienes que usar el equilibrio de fuerzas en dirección vertical. Tiene la forma:

$S_{middle} + S_{left}cos \alpha + S_{right}cos \alpha - mg = 0$ .

Aquí, $\alpha$ es el ángulo entre el techo donde cuelgan las cuerdas y las cuerdas laterales. También se cumple a partir del equilibrio horizontal:

$S_{left}sin \alpha - S_{right}sin \alpha = 0$ .

Las tensiones que calcula con la fórmula $S = \frac{EA}{L}\Delta l$ con la longitud de las cuerdas $L$ (sin peso). Puedes expresar el cambio en las longitudes usando relaciones trigonométricas elementales; puede expresar el cambio de longitud de las cuerdas laterales en función del cambio de longitud de la cuerda central; se mantiene:

$\Delta l_{middle} = \Delta l_{Side} sin \alpha$

tu respuesta es mejor para entender. ¿Puedes decirme cómo se relacionan realmente los lados entre sí en trigonometría simple?

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