¿Es el "número de fotones" de un sistema un invariante de Lorentz?

Alice prepara un campo electromagnético en un estado con un gran número de fotones$\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle$dónde$\hat{N}$es el operador numérico. Alice se alienta con respecto a Bob. En el marco de referencia de Bob, el campo está en el estado$\hat{U}(\Lambda)|n\rangle$. La pregunta es si una medida del número de fotones para el estado de Bob da la respuesta precisa.$n$. En otras palabras, ¿es cierto que$\hat{N}\hat{U}(\Lambda)|n\rangle=n\hat{U}(\Lambda)|n\rangle$? Bob obtendrá el resultado nítido.$n$si el operador impulso conmuta con el operador numérico. Sólo tenemos que demostrar que el conmutador$[\hat{U}(\Lambda),\hat{N}]_{-}=0$.

El operador numérico para fotones de helicidad.$\lambda$es,

$$\begin{equation} \hat{N_{\lambda}}=\int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{\eta}_{p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda} \end{equation}$$ dónde $\hat{\eta}_{p\lambda},\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}$son operadores de emisión y absorción respectivamente para un fotón de momento $p$y helicidad $\lambda$(la notación para los operadores de emisión y absorción es de la monografía de Dirac "Lectures on Quantum Field Theory"). También tenemos $\omega = p^{0}$en la medida invariante de Lorentz.

Los estados de un solo fotón se transforman como,

$$\begin{equation} \hat{U}(\Lambda)|p,\lambda\rangle=e^{-i\theta(p,\Lambda)}|\Lambda p,\lambda\rangle \end{equation}$$ dónde $\theta(p,\Lambda)$es el ángulo de Wigner. Creando un estado de una sola partícula a partir del vacío. $|S\rangle$por $|p,\lambda\rangle=\hat{\eta}_{p\lambda}|S\rangle$implica que los operadores de emisión transforman estados similares, $$\begin{equation} \hat{U}(\Lambda)\hat{\eta}_{p\lambda}=e^{-i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}_{\Lambda p\lambda} \ . \end{equation}$$ Tomando el conjugado hermitiano, usando la unitaridad y reemplazando $\Lambda$por $\Lambda^{-1}$, $$\begin{eqnarray} \hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}^{\dagger}(\Lambda)&=& e^{i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda p\lambda}\\ \hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}(\Lambda^{-1})&=& e^{i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda p\lambda}\\ \hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}(\Lambda)&=& e^{i\theta(p,\Lambda^{-1})}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda^{-1} p\lambda} \ . \end{eqnarray}$$ Ahora evalúe el conmutador, $$\begin{eqnarray} [\hat{U}(\Lambda),\hat{N}_{\lambda}]_{-}&=& \int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{U}(\Lambda)\hat{\eta}_{p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}- \int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{\eta}_{p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}(\Lambda)\\ &=&\int \frac{d^{3}p}{2\omega}e^{-i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}_{\Lambda p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}- \int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{\eta}_{p\lambda}e^{i\theta(p,\Lambda^{-1})}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda^{-1} p\lambda} \ . \end{eqnarray}$$ Realiza un cambio de variable en la segunda integral, $p'=\Lambda^{-1}p$. $$\begin{equation} [\hat{U}(\Lambda),\hat{N}_{\lambda}]_{-}= \int \frac{d^{3}p}{2\omega}e^{-i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}_{\Lambda p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}- \int \frac{d^{3}p'}{2\omega'}\hat{\eta}_{\Lambda p'\lambda}e^{i\theta(\Lambda p',\Lambda^{-1})}\hat{\eta}^{\dagger}_{p'\lambda} \end{equation}$$ El ángulo de Wigner $\theta(p,\Lambda)$corresponde a una matriz de rotación $R(p,\Lambda)=H^{-1}_{\Lambda p}\Lambda H_{p}$dónde $H_{p}$es el impulso estándar. Ahora, $$\begin{equation} R(\Lambda p,\Lambda^{-1})=H^{-1}_{\Lambda^{-1}\Lambda p}\Lambda^{-1}H_{\Lambda p}=H^{-1}_{p}\Lambda^{-1}H_{\Lambda p}= (H^{-1}_{\Lambda p}\Lambda H_{p})^{-1}=(R(p,\Lambda))^{-1} \end{equation}$$ de modo que el ángulo de Wigner $\theta(\Lambda p,\Lambda^{-1})$es $-\theta(p,\Lambda)$. Al poner este resultado en la última integral, el conmutador desaparece. $[\hat{U}(\Lambda),\hat{N}_{\lambda}]_{-}=0$y entonces el campo electromagnético de Bob también tiene el mismo número agudo $n$de fotones como el campo de Alice.

Editar: Explicación de por qué aparece la medida invariante en el operador numérico

El método de representaciones inducidas, que se utiliza para obtener la respuesta de los estados de una sola partícula a un impulso de Lorentz (segunda ecuación en el texto principal), es más simple si se elige una medida invariante de Lorentz para que la resolución de la unidad para los estados de una sola partícula es,

$$\begin{equation} \sum_{\lambda=\pm 1}\int \frac{d^{3}p}{2\omega}|p,\lambda\rangle\langle p,\lambda|=1 \ . \end{equation}$$ Esta elección implica que el conmutador de los operadores de emisión y absorción es, $$\begin{equation} [\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda},\hat{\eta}_{p'\lambda'}]_{-}= \langle p,\lambda|p',\lambda'\rangle= 2\omega\delta_{\lambda,\lambda'}\delta^{3}(p-p') \ . \end{equation}$$ A su vez, esto implica que el hamiltoniano de orden normal para el campo electromagnético libre es, $$\begin{equation} \hat{H}=\frac{1}{2}\int d^{3}p(\hat{\eta}_{p\lambda=-1}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda=-1}+\hat{\eta}_{-p\lambda=+1}\hat{\eta}^{\dagger}_{-p\lambda=+1}) \ . \end{equation}$$ Ahora crea $n$fotones del vacío con un estado, $$\begin{equation} |\Psi\rangle=(\hat{\eta}_{p\lambda})^{n}|S\rangle \end{equation}$$ y exigir que el operador de números $\hat{N}_{\lambda}$mide el resultado nítido $n$sobre este estado. Esto implica que la medida invariante de Lorentz debe usarse en la definición del operador numérico (primera ecuación en el texto principal). Entonces, uno ve que no hay suposiciones aquí, solo una elección de la medida invariante (en lugar de una medida cuasi-invariante) para hacer que el método de representaciones inducidas utilizado para obtener los irreps del grupo de Poincaré para partículas sin masa sea lo más simple posible. .

La respuesta de un experimentador.

Hay innumerables experimentos que miden dos eventos gamma. La invariancia de Lorentz es una suposición básica para todas las interacciones medidas. Cada interacción está en un marco de Lorenz diferente según las energías y los momentos involucrados. Cuando hacemos las distribuciones de secciones transversales y ángulos, dependemos de esta invariancia del número de partículas en la interacción bajo observación. Como el modelo estándar se las arregla para ajustar todo esto con una muy buena aproximación, esta suposición se mantiene.

Ahora cada fotón individual proviene de una interacción invariante de Lorenz por construcción de interacciones electromagnéticas, aunque nada lo registra, por lo que los números deben permanecer constantes.

Para que los números cambien si el marco de Lorenz cambia para un conjunto de fotones ya creados, significa que el marco de Lorenz impuesto interactúa de alguna manera con los fotones bajo observación. Si se intercambia energía, pueden aparecer más fotones, lo que parecerá una falta de conservación de los números, pero no debe considerarse como tal.

No estoy seguro de quién está eliminando mis comentarios, argumentos y críticas que cuestionan la derivación del Sr. Blake. El hecho de que no tengamos suficiente razonamiento para argumentar en contra de una idea nunca debería significar borrar esa voz. Hasta donde yo sé, la ciencia no está destinada a ser monopolizada, ya que lo mismo ocurre con la riqueza.

Al contar el número de fotones en un sistema, estamos limitados por la detección, que a su vez está limitada por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, algo que nunca se puede superar en la Naturaleza. En teoría, un fotón puede tener cualquier energía distinta de cero en un espectro infinitamente amplio. Por lo tanto, existe una probabilidad distinta de cero de que algún fotón tenga una energía particular. No olvidemos que los fotones son solo un ingrediente de las partículas fundamentales en la Naturaleza. Esto significa que pueden interactuar con al menos cualquier otra partícula fundamental cargada del Modelo Estándar, incluidas sus propias interacciones. (Los canales de interacción aumentarían exponencialmente a medida que vayamos más allá de las teorías del modelo estándar, como las dimensiones extra y la supersimetría). Dicho todo esto, está perfectamente bien que los fotones se pierdan y/o se creen (a través de sus interacciones) y nunca se compensen en un volumen finito dado de nuestro Universo (que se llamará sistema) durante un período de tiempo finito (dentro de la edad finita del Universo). Por lo tanto, al ser solo un subconjunto de todas las partículas fundamentales y tener un tiempo de vida infinitamente largo durante el cual tienen muchos canales de interacción, su número nunca se conservará en ningún volumen finito de nuestro Universo. Sin embargo, sería más desafiante generalizar la pregunta a "si se conserva el número total de todas las partículas fundamentales dentro del Universo Visible". Sin embargo, para responder a esto, necesitamos conocer la Teoría del Todo en la que se conocen TODAS las partículas fundamentales, incluidos sus tiempos de vida y masas y canales de interacción junto con el conocimiento de la Materia Oscura y la Energía Oscura (que representan el 96% del presupuesto de materia y energía del Universo que son invisibles a partir de Este Dia). Entonces, estoy seguro de que la respuesta a su pregunta es: "No. El número de fotones en un volumen finito conocido como sistema nunca se conservará". Y me gustaría dejar el más desafiante para las futuras generaciones de físicos.