Velocidad máxima de un cohete con un potencial de velocidades relativistas

Tomemos el cohete para comenzar con una masa inicial de$M_{0}$y expulsar masa a una velocidad$\frac{dm}{dt}$, así que después de un tiempo$t$, ha expulsado una masa total$m$. Además, deje que la velocidad de eyección esté dada por$v_{e}$por simplicidad. Entonces, usando la fórmula del momento relativista, tenemos el momento ganado por el cohete igual al momento del combustible del cohete expulsado (también asumimos que el cohete parte del reposo):

$$\begin{align*} \frac{dm}{dt}v_{e} &=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)\\ m\,v_{e} &=\frac{(M_{0}-m)v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ \frac{m^{2}v_{e}^{2}}{(M_{0}-m)^{2}}&= \frac{v^{2}}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}} \end{align*}$$

Después de un poco de álgebra, obtienes el resultado final,

$$v=\frac{v_{e}}{\sqrt{\left(\frac{M_{0}-m}{m}\right)^2+\left(\frac{v_{e}}{c}\right)^{2}}}$$

La velocidad final del cohete se dará entonces en función de la masa$M_{0}-m$del propio cohete, la masa$m$del combustible expulsado y la velocidad$v_{e}$en el que se expulsó el combustible. Por lo tanto, la respuesta correcta es definitivamente todo menos la longitud del cohete.

Tome la masa inicial del cohete como$M$y la cantidad acumulada de propulsor expulsado para ser$m$, que se usará indistintamente como variable dinámica y para la respuesta final. En cuanto a la unidad, usaré exclusivamente$\beta=v/c$para la representación de velocidades de todo tipo. Estoy evitando intencionalmente usar el tiempo en mis ecuaciones. La esencia del problema es que la velocidad depende de la cantidad de propelente expulsado hasta ese punto (y los parámetros del problema), así que voy a encontrar una solución para$\beta(m)$, es decir, la velocidad de la nave en función de la masa expulsada hasta ese punto. Voy a considerar el problema en el marco de referencia "reposo", que se define más formalmente por la referencia inercial para la cual es cierto que$v(0)=0$. Usaré la abreviatura de$\gamma$función,$\gamma(\beta) = (1-\beta^2)^{-1/2}$.

La primera física real que haré aquí es diseccionar una reacción específica. Defino el punto específico en el tiempo del que estoy hablando como el punto en el que el cohete en movimiento tiene una masa de$M-m+dm$. Luego expulsa$dm$a velocidad$\beta_e$con respecto a sí mismo en la dirección opuesta al movimiento. Esta eyección aumenta el impulso del cohete en$dp$a medida que el impulso de la masa expulsada cambia de$p_{dm}$a$p_{dm}'$a velocidades de$\beta$y$\beta_{dm}'$. La adición de velocidad relativista se debe hacer para obtener este último.

$$\beta_{dm}' = \frac{\beta-\beta_{e}}{1-\beta \beta_e}$$

Ahora se escribe el balance de la cantidad de movimiento de la reacción.

$$dp = p_{dm} - p_{dm}' = dm \gamma(\beta) \beta - dm \gamma(\beta_{dm}') \beta_{dm}'$$ $$\frac{dp}{dm} = \gamma(\beta) \beta - \gamma(\beta_{dm}') \beta_{dm}' = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e}\right)^2}}$$

Ahora espero que a estas alturas sea descaradamente obvio lo que estoy haciendo. Estoy tratando de formular una ecuación diferencial donde$m$es la variable independiente y resolvemos para$\beta(m)$. Pero todavía necesitamos el lado izquierdo de esa ecuación. Para encontrar esto, debemos seguir pensando en los saldos de la interacción indicada y encontrar el cambio en el momento de la parte no expulsada del cohete,$dp$, después de eso se pueden hacer aproximaciones. La cantidad de movimiento de la parte no expulsada del cohete es$p$antes de la expulsión y$p'$después de la expulsión.

$$dp = p' - p = (M-m) (\beta' \gamma(\beta') - \beta \gamma(\beta))$$ $$\beta'-\beta = d\beta << \beta_e$$ $$dp = (M-m) ((\beta+d\beta) \gamma(\beta+d\beta) - \beta \gamma(\beta))$$

Expansión en serie de segundo orden sobre$d\beta=0$.

$$dp = (M-m) d\beta \gamma(\beta)^3$$

Alternativamente, esto se puede encontrar diferenciando. La razón por la cual la diferenciación simple es tan difícil es que tienes que identificar de qué se deriva. Para ser consistente con la física de la situación, tuve que introducir un especial$m''$variable, que es una forma invariante de$m$, aunque teniendo el mismo valor. Básicamente,$m''$no se ve afectada por la pérdida de$dm$pero$m$es. A partir de aquí tengo que empezar a escribir.$\beta$en términos de$\beta(m)$también, cuál es el objetivo. Perdón por el repentino cambio de notación. Aquí está el enfoque de cálculo para$dp$.

$$\beta = \beta(m)$$ $$\frac{dp}{dm} = \frac{d}{dm} \left( (M-m'') \beta(m) \gamma(\beta(m)) \right) = (M-m'') \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3$$

Cualquiera de los enfoques da la expresión necesaria para el siguiente paso, que es simplemente escribir la ecuación diferencial que es la solución al problema. Perdón por el cambio de nuevo a la supresión de la$m$dependencia de nuevo (por lo que encaja en la línea), sólo sé que es realmente$\beta(m)$y eso$\beta_e$es constante

$$(M-m) \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3 = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e}\right)^2}}$$ $$\beta(0)=0$$

Y hemos terminado. Esta es tu respuesta. Con$M$y$\beta_e$especificado puedes encontrar$\beta(m)$que es la velocidad del cohete en función de la masa expulsada, pero recuerda que$m<M$. Voy a dar una parcela de muestra. Esto muestra la función de$\beta$, que nuevamente es la fracción de la velocidad de la luz a la que se dirige el cohete.

$\beta_e=0.1$y$M=1$

Hay algunas aproximaciones que puede obtener, por supuesto. Hacer una expansión de Taylor de segundo orden del RHS de la ecuación diferencial anterior dará como resultado la siguiente solución.

$$\beta = tanh \left( \beta_e ln(\frac{M}{M-m}) \right)$$

Y si simplificas aún más ($tanh(x)=x$) obtendrá la versión clásica.

$$\beta = \beta_e ln(\frac{M}{M-m})$$

El primero de ellos parece ser una aproximación bastante buena, pero sólo para$\beta_e<<1$. Obviamente$\beta_e$y$m$son relevantes para la respuesta, a menos que haya hecho algunas suposiciones diferentes a las que hice. Sin embargo, creo que lo más probable es que quien argumentó la pregunta solo tenga 1 respuesta de a, b, c no tenga un argumento coherente para ello.

Editar: tenía$\sqrt{2}$factor incorrectamente porque ingresé una ecuación incorrecta. Se corrigió ahora, de acuerdo con Wikipedia para la primera aproximación.

Cuando$\beta=1$

En este caso, incluso la primera ecuación escrita para$\beta_{dm}'$no es válido, y debemos volver a la mesa de dibujo para calcular$dp$. Tendré que abordar esto considerando la emisión de un solo fotón, por lo que mi notación será que$dp$y$dm$se refieren al cambio en el momento y la masa del cohete según el observador estacionario debido a la emisión de un solo fotón. La frecuencia de la luz según la nave espacial será$\lambda_e$y en marco estacionario,$\lambda_o$.

$$dp = \frac{h}{\lambda_o}$$

$$p c = \frac{h c}{\lambda_o} = E = c^2 dm \rightarrow dm = \frac{h}{c \lambda_o}$$

$$\frac{dp}{dm} = c$$

Resulta que no necesitamos hacer nada con el corrimiento al rojo, ¡ni siquiera necesitamos conocer la frecuencia de la luz! En realidad esperaba eso, así que está bien. Mi anterior$dp$por cierto, eran las unidades equivocadas. debería haber escrito$p=c \beta \gamma(\beta)$, pero si encuentra que la respuesta es en términos de$\beta$, entonces ¿por qué molestarse? Así que lo arreglaré para que$dp/dm=1$. Ahora podemos tomar la expresión anterior para esa cantidad e igualarla a 1 para encontrar la ED para$\beta(m)$.

$$\frac{dp}{dm} = (M-m) \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3 = 1$$

$$\beta(0) = 0$$

La solución:

$$\beta = ln{ \frac{M}{M-m} } \sqrt{ \frac{1}{ 1+ ln{ \frac{M}{M-m} }^2 } }$$

Trazaré esto con todos los demás discutidos.

M = 1,0, beta_e = 0,5

• Zassou: mi respuesta en forma de ecuación diferencial completa. Numéricamente solo pude evaluar hasta$m=0.8$
• Wikipedia: la solución tanh( ln( .. )) que también está en el artículo de wikipedia para esto, es válida para$\beta_e<<1$, y muestra alguna desviación del real aquí debido a ello, y cuando$\beta_e$se acerca a 1, se puede ver mucha más flexión de la curva
• Jerry - fórmula que dio en su respuesta
• Newton: obviamente el caso clásico, vuela a velocidades súper luminosas, por supuesto
• Fotón - ecuación que acabo de dar - tenga en cuenta que esto NO resuelve el mismo problema ya que$\beta_e$es diferente, lo cual se evidencia por la pendiente inicial

No estoy seguro de haber entendido claramente la pregunta.

En primer lugar , necesita un ENORME recurso de combustible para lograr algo remotamente comparable a la velocidad de la luz, lo que es prácticamente casi imposible para un cohete de tamaño práctico.

Podemos calcular la velocidad del cohete suponiendo que el gas es expulsado a una tasa y velocidad constantes.

Si consideramos que la tasa de eyección es constante =$\alpha$a velocidad constante entonces tenemos$(m_0 - \alpha \times t) \times \frac {dv}{dt} - \alpha{v_0} = - (m_0 - \alpha{t})g$Resolviéndolo encontramos,

$v = -gt + v_0ln(\frac{m_0}{m_0 - \alpha t})$

Para un caso general donde la tasa de eyección no es constante, debemos conocer la dependencia exacta de la masa de gas con el tiempo y resolver la ecuación,

$m\frac{dv}{dt} + v_0 \frac{dm}{dt} = F$

En segundo lugar , como es habitual en SR, a medida que el cohete se acerca a la velocidad de la luz con respecto a un observador inercial estacionario, necesita más y más energía para acelerar aún más. Se requiere una cantidad infinita de energía para alcanzar la velocidad exacta de la luz, que es la velocidad límite para cualquier objeto físico.

$E = \frac {E_0}{\sqrt {1- v^2/c^2}}$

$E_0$es la energía de masa en reposo del cohete y$E$es la energía necesaria para alcanzar la velocidad$v$,$c$es la velocidad de la luz. Es claro que como$v$enfoques$c$,$E$enfoques$\infty$

Entonces, en última instancia, es la ley de la naturaleza la que limitará la velocidad máxima alcanzable por el cohete (o cualquier otro objeto físico).

Ambas respuestas 1 y 2 son las respuestas correctas. Parece que tu maestro hizo algunos saltos mentales (y esperaba que vinieras) para reducirlo a la respuesta #1.

Ignorando las consideraciones gravitatorias y relativistas (y para cohetes prácticos en el espacio profundo, esto es razonable), y suponiendo un motor de cohete ideal, la velocidad final del cohete se puede expresar como:

Pv = Ev x ln((Pm+Em)/Pm)

dónde:

Pv = Velocidad del cohete vacío (carga útil)

Pm = Masa del cohete vacío (carga útil)

Ev = Velocidad de escape de los gases del motor cohete.

Em = Masa total de propelente expulsado (combustible + oxidante)

"ln(x)" significa "tomar el logaritmo natural de x".

Creo que vi algo que se aproxima a esta forma en la respuesta de sb1.

A partir de la ecuación, puede ver que la velocidad final de la carga útil es linealmente proporcional a la velocidad de escape y muy no linealmente proporcional a Em/Pm.

El primer salto mental que tu maestro quería era que te dieras cuenta de que existen limitaciones prácticas en Ev. Si desea aumentar la velocidad de un cohete moderno que está superando los límites de la ciencia más avanzada en un 45 %, no puede simplemente salir y tomar una combinación de propulsor/cohete que aumente el Ev en un 45 %. No tenemos eso.

El segundo salto mental que tu maestro quería era que te dieras cuenta de que se refería a "cantidad de combustible" como porcentaje de la masa total del cohete. A medida que aumenta este porcentaje, tiene más influencia para aumentar la velocidad final de la carga útil.

Debido a que no hay una respuesta correcta para un caso relativista, decidí enviar una respuesta que, en mi opinión, es correcta.

Partimos de la relación del movimiento del cohete, que es correcta tanto para casos relativistas como no relativistas:

$$\frac{d}{dt}M\overrightarrow v=\overrightarrow u\frac{dM}{dt};\overrightarrow u= \overrightarrow {u'}+\overrightarrow v$$

dónde$M$es la masa total de un cohete (incluido el combustible),$\overrightarrow v$es el vector velocidad del cohete y$\overrightarrow u$es el vector de velocidad del chorro de gas.$\overrightarrow {u'}$es el vector de velocidad de la masa expulsada con respecto al misil.

$\overrightarrow v$y$\overrightarrow u$se toman en relación con el sistema de coordenadas de inercia, que se ocupa del movimiento (en lugar de relativo con respecto al misil).

En un caso relativista tenemos:

$$M=\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ dónde $M'$es una masa variable en reposo del cohete en el sistema de coordenadas en movimiento adjunto al cohete. Después de sustituir y omitir las operaciones matemáticas, la ecuación de movimiento reativista se muestra como

$$\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{d\overrightarrow v}{dt}=(\overrightarrow u- \overrightarrow v)\frac{d}{dt}\left (\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right )$$

Supongamos que la aceleración ocurre en la dirección positiva de la$x$-eje. Entonces la última ecuación se convierte en:

$$\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{dv}{dt}=(u_x-v)\frac{d}{dt}\left (\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right )$$ Por la ley reativista de la suma de velocidades tenemos:

$$u'_x=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}$$ dónde $u'_x$es la velocidad de la masa expulsada con respecto al misil.

Después de sustituir y saltarse las operaciones matemáticas, tenemos:

$$\frac{dM'}{M'}=-\frac{1}{u'}\frac{dv}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ Aquí tomamos $u'_x=-u'$

Después de integrar finalmente tenemos:

$$\frac{M'}{M'_0}=\left(\frac{c-v}{c+v}\right)^{\frac{c}{2u'}}$$ dónde $M'_0$es la masa total del cohete en reposo ( $v=0$).

Para el caso de un cohete de fotones es suficiente la sustitución$u'=c$aquí.