Estaba leyendo la Teoría clásica de campos de Landau & Lifshitz y noté que mencionan que un cuerpo rígido extendido no es "relativistamente correcto".
Por ejemplo, si considera una barra rígida y aplica un par de torsión en un extremo, por definición de ser rígido, todo el cuerpo debe comenzar a girar en el mismo instante. Pero la información sobre la fuerza que se aplica no puede viajar más rápido que la velocidad de la luz.
El libro no menciona cómo resolver esta paradoja, y después de pensarlo un rato, me pregunto si se puede definir un cuerpo rígido de una manera relativistamente correcta.
Para resumir: ¿Cómo se define un cuerpo rígido en relatividad especial?
En realidad, no existe tal cosa como un cuerpo rígido perfecto. Siempre habrá un retraso en el movimiento que se propaga a lo largo del cuerpo.
En condiciones "normales", no nota este retraso, ya que es infinitesimal en comparación con el tamaño de los objetos cotidianos con los que interactúa.
Sin embargo, si tuviera una barra de varios años luz de largo (suponiendo que eso sea posible), la demora en transmitir el movimiento (rotación o traslación) a lo largo del cuerpo significaría que el otro extremo no se movería instantáneamente, pero solo en algún momento posterior consistente con la información que no viaja más rápido que la luz.
Si toma una barra de aluminio y golpea un extremo con un martillo, la perturbación viaja a lo largo de la barra a la velocidad del sonido en el aluminio, que es de unos 5000 m/s. Esta velocidad es lo que determina la frecuencia del timbre que escuchas. La velocidad es muchos órdenes de magnitud menor que c. Si fuera mayor que c para alguna otra sustancia (una que fuera muy rígida y tuviera una densidad muy baja), entonces sería posible usar las vibraciones para transmitir información más rápido que la velocidad de la luz, lo cual está prohibido por la relatividad; lleva a paradojas, ya que habría marcos de referencia en los que la señal se recibe antes de que se transmita. Esto nos dice que la relatividad impone límites a las propiedades de los materiales. No es sorprendente que tales límites existan,
Un ejemplo similar de la relatividad general es que no podemos usar una cuerda para recuperar un objeto del interior del horizonte de eventos de un agujero negro. Si la cuerda fuera lo suficientemente fuerte para soportar incluso su propio peso, entonces la velocidad del sonido en la cuerda sería mayor que c, lo cual es imposible.
Aunque la relatividad no permite la existencia de la rigidez perfecta como una propiedad pasiva de una sustancia, todavía nos permite definir una noción de rigidez llamada rigidez de Born (Born 1909). En un objeto Born-rigid, un observador en reposo con respecto a cierta parte del objeto ve que esa parte del objeto siempre mantiene una distancia constante entre las partes vecinas. La rigidez nata no puede ser una propiedad pasiva de un material; para lograr la rigidez de Born, uno tiene que llevar a cabo un programa planificado previamente de aplicar fuerzas a diferentes partes del objeto en función del tiempo.
El teorema de Herglotz-Noether dice que la rigidez de Born es incompatible con los tipos de rotaciones y traslaciones libres que esperamos, de manera no relativista, poder aplicar a un cuerpo rígido. No es posible que un cuerpo Born-rigid cambie su velocidad angular, y si dicho cuerpo está girando, su centro de masa no puede acelerarse.
Históricamente, este tipo de cosas se estudió intensamente ca. 1910 tanto por el deseo de resolver paradojas como la paradoja de Ehrenfest como porque la gente estaba tratando de hacer una teoría de los electrones como objetos extensos, para evitar la energía infinita inherente al campo de una carga puntual.
Max Born. Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips. (La teoría del electrón rígido en cinemática relativista) Annalen der Physik (Leipzig), Annalen der Physik 30, 1; también conocido como 335 (11), 1-56 (vierte folge, banda 30), 1909.
si considera una barra rígida y aplica un par en un extremo, por definición de ser rígido, todo el cuerpo debe comenzar a girar en el mismo instante. Pero [...]
Me pregunto si uno puede incluso definir un cuerpo rígido de una manera relativistamente correcta.
En el sentido estricto indicado: no se puede.
JL Synge [1] ha declarado una pista importante en el argumento:
Para nosotros el tiempo es la única medida básica. La longitud (o distancia [o cuasi-distancia, o incluso cualquier afirmación de "extensión espacial"]), en la medida en que sea necesario o deseable introducirla, es estrictamente un concepto derivado
Si los " extremos " distinguibles se señalan entre sí instantáneamente (de modo que si se " aplica " una señal en un extremo y la "reacción" o el "eco" del otro extremo debido a que la señal se recibe al mismo tiempo, también conocido como en coincidencia), entonces estos dos extremos no se denominan "espacialmente extendidos" y "separados" entre sí, sino "coubicados".
En la medida en que " por definición de ser [perfectamente] rígido " se entiende como una señalización instantánea entre partes distinguibles, por lo tanto, la noción de un "cuerpo extendido perfectamente rígido" es un oxímoron.
Sin embargo:
en reconocimiento de esta consecuencia de las nociones básicas de RT, la noción de "rigidez" se usa fácilmente en el sentido de "invariabilidad de forma", para definir y describir relaciones entre " fines " que en realidad están "espacialmente separados". . Las diferentes nociones de "forma (espacial)" conducen por lo tanto a definiciones diferentes, generalmente desiguales, de "rigidez" o "movimiento rígido".
Históricamente importante es la rigidez de Born que considera que la "forma en reposo" permanece sin cambios en el curso del "movimiento" de los " extremos " participantes. (Por lo tanto, la rigidez nacida depende de la existencia de "marcos de reposo instantáneos" inerciales adecuados en la región en la que se considera el "movimiento").
Synge [2] describe otra noción de "rigidez cronogeométrica" , de aplicación más amplia, como
enviando fotones de una curva temporal a otra, y recibiendo de vuelta los fotones dispersos o reflejados. El criterio de rigidez es que el tiempo transcurrido [duración de la fuente de la señal] desde la emisión hasta el retorno [...] debe ser constante.
[...] esta prueba de rigidez midiendo los tiempos de viaje es realmente lo mismo que la prueba de longitud por medio de un interferómetro
(que por lo tanto se refiere a la invariabilidad de la "forma cronogeométrica" y que se puede determinar incluso en regiones donde no se pueden encontrar marcos inerciales).
Referencias:
[1] JL Synge, Relatividad: La Teoría General , p. 108
[2] ibíd., pág. 115
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