Velocidad de escape: ¿no se hará más grande la trayectoria orbital con una velocidad inicial más alta?

¿Existe una definición más precisa de la velocidad de escape?

Primero, considere un objeto con una órbita radial (órbita de momento angular cero) en un$1/r^2$campo de fuerza central. la energia total$E$del objeto (que es constante) es la suma de la energía potencial (negativa)$U(r)$debido al campo de fuerza y ​​la energía cinética$T(v)$debido a la velocidad radial.

Hay tres casos a considerar:

• $E \lt 0$: La órbita está acotada , es decir, hay una distancia máxima finita$r = r_{max}$donde la velocidad (y por lo tanto la energía cinética) es cero, y el objeto tiene energía potencial máxima (menos negativa)

• $E \ge 0$: La órbita es ilimitada , es decir, el objeto nunca tiene velocidad cero. Como$r \rightarrow \infty$, la energía cinética$T$enfoques asintóticamente$E$desde arriba.

• $E = 0$: Un caso especial de la órbita ilimitada en la que$T \rightarrow 0$como$r\rightarrow\infty$.

Es este caso especial el que es relevante para la definición de velocidad de escape. En cualquier radio$r_0$en el campo de fuerza central, hay una velocidad$v_e$tal que

Por lo tanto, un objeto que comienza en$r = r_0$con velocidad radial hacia afuera$\vec{v}_e$tiene suficiente energía cinética para, ejem, 'deslizarse hasta detenerse en$r = \infty$'.

Más precisamente, el objeto se alejará arbitrariamente con una velocidad arbitrariamente cercana a cero. En este sentido, el objeto 'escapa' del campo de fuerza central, pero solo así.

Sí, lo que realmente ha descubierto es que el fenómeno en cuestión ha sido mal etiquetado como "escape". Al menos en lo que respecta a la comprensión probable de un profano. O tal vez el problema es la comprensión del profano de "de qué". Donde estás pensando en "desde la gravedad", lo que el científico quiere decir es "desde un camino orbital cerrado" (elíptico), o en resumen "desde la órbita" en sí, "órbita" que implica un retorno. En cuanto a cómo un objeto puede posiblemente evadir la fuerza persistente de la gravedad tratando de devolverlo, tal vez esto ayude: un objeto que se aleja de un cuerpo gravitacional experimenta una disminuciónen la atracción gravitatoria del cuerpo a medida que aumenta la distancia. Es posible que un objeto tenga suficiente velocidad para que la atracción decreciente siempre permanezca por debajo de la capacidad del objeto para "superar" esa atracción. La velocidad del objeto nunca disminuye por debajo de lo que le permitiría al cuerpo atraerlo desde cualquier distancia que haya logrado obtener actualmente. Se "gana" la carrera de la energía.

El objeto no escapa a la influencia gravitacional; como has notado,$1/r^2$nunca es igual a$0$. Sin embargo, lo que queremos decir con "velocidad de escape" es que el objeto tiene suficiente energía (velocidad lo suficientemente grande) para que su camino tenga que "dar la vuelta al infinito". En otras palabras, la velocidad del objeto es lo suficientemente alta y disminuye lo suficientemente lento como para que el objeto nunca gire.

La parte importante aquí es la velocidad del objeto en órbita.

Cada distancia del objeto en órbita tiene su propia velocidad de órbita (orbitando a lo largo del círculo). Si aumenta la velocidad, la trayectoria orbital cambia a una elipse; si aumentas más la velocidad, la elipse se vuelve cada vez más prolongada.

Si continúa aumentando la velocidad, llegará el momento en que la trayectoria se vuelva parabólica , y la parábola ya no es una curva cerrada, por lo que el objeto escapa , no de la fuerza gravitatoria, sino de la órbita alrededor del objeto.

Tienes razón. La noción de "escape" de un campo gravitatorio es algo que solo existe en un modelo matemático idealizado de la situación. En ese modelo idealizado, tenemos un solo gravitador, en un espacio-tiempo de extensión infinita. Con eso, podemos enunciar la idea de la velocidad de escape como sigue:

Es la velocidad mínima a la que un objeto debe ser lanzado lejos del gravitador, para que alcance una distancia infinita, después de un lapso de tiempo infinito.

Si lanzas el objeto con menos velocidad que esta, regresará: golpeará la superficie del gravitador o entrará en una órbita repetitiva a su alrededor que, sin embargo, se mantendrá dentro de una distancia máxima del objeto. Pero si lo lanza hacia afuera con una velocidad de al menos la velocidad de escape o más alta, entonces el camino orbital "se vuelve infinitamente grande": sale y se cruza (en cierto sentido) con el infinito.

En lenguaje formal, si$\mathbf{r}(t)$es un vector que apunta desde el gravitador hacia el objeto lanzado y que traza su trayectoria, y en$t = 0$lanzamos el objeto, la velocidad de escape es la velocidad mínima$v_\mathrm{esc}$tal que si

es decir, la velocidad en el momento del lanzamiento es mayor, entonces

, es decir, la distancia del planeta crece para siempre. En realidad, por supuesto, hay dos limitaciones: por un lado, nunca podemos tener un tiempo infinito, lo que significa que el objeto, en todo momento, todavía estará teóricamente bajo la influencia del gravitador, incluso si esa influencia es extremadamente pequeño. La otra limitación es que, en realidad, habrá otras fuentes de gravedad presentes a distancia, que luego cambiarán la trayectoria de otras maneras una vez que su influencia comience a dominar el control sobre el movimiento del objeto lanzado y esto, a su vez, también evitará llegando a esa distancia infinita. Por ejemplo, si estamos hablando del Sistema Solar y estamos "escapando" de la Tierra, si lanzamos una nave con no más de la velocidad de escape de la Tierra, entonces solo "escapará" hasta que el Sol

No obstante, es útil porque podemos tomarlo como un estadio de béisbol para la velocidad mínima y, por lo tanto, el esfuerzo mínimo que debe gastar nuestro motor para "alejarse" de la fuente de gravedad y llegar a un destino más remoto como, digamos, Marte. Por supuesto, viajar allí requerirá más cambios de velocidad (los llamados "delta vee"), porque también necesitaremos navegar para interceptar ese destino y luego asentarnos en su superficie de manera segura.

Tira una piedra hacia arriba y caerá de nuevo a la Tierra. Pero si le das una velocidad muy, muy grande, se irá al espacio. Seguramente, siempre está bajo la influencia gravitacional del planeta, pero tiene una velocidad lo suficientemente grande como para nunca regresar.

La velocidad mínima necesaria para esto se llama velocidad de escape. Y a esa velocidad (o mayor) la trayectoria del objeto es una curva abierta; esto significa que la curva se extiende hasta el infinito y el objeto, por lo tanto, no tiene límites sobre cuán lejos puede llegar.

¿Cómo puede un objeto posiblemente “escapar de la influencia gravitatoria de otro objeto”? ¿Existe una definición más precisa de la velocidad de escape? ¿La trayectoria orbital no se volverá infinitamente grande con el aumento de la velocidad inicial?

La aparente paradoja se puede resolver considerando la energía cinética y potencial de un 'objeto' proyectado desde la superficie de un planeta a cierta velocidad inicial.

Imagine un objeto que viaja hacia afuera desde el centro de gravedad de un planeta a una velocidad uniforme y calcula la energía potencial que se gana. Si la fuerza sobre el objeto debido a la gravedad fuera uniforme con la distancia, entonces la energía potencial aumentaría linealmente con la distancia. Si el objeto fuera lanzado desde una altura dada, caería e impactaría con una velocidad V (suponiendo que no hay atmósfera).

Energía = mgh = 1/2mv^2
Entonces V desde una altura dada = (2gh)^0.5

Sin embargo, a medida que aumenta la distancia desde el centro de gravedad del "planeta", los efectos gravitacionales del cuadrado inverso significan que la energía necesaria para alcanzar esa altitud aumenta más lentamente con la distancia. La integración de la energía requerida con el aumento de la distancia tiene un valor finito en el infinito.

Por el contrario, un objeto que "cae" desde una distancia infinita tiene una energía potencial no infinita y, por lo tanto, una velocidad de impacto no infinita. Esta es la velocidad de escape.

Un objeto proyectado desde el planeta a velocidad de escape perderá energía cinética a medida que "asciende", pero la tasa de pérdida disminuirá con la distancia debido al efecto gravitacional del inverso del cuadrado. Finalmente se detendrá a una distancia infinita.
Un objeto proyectado a una velocidad inferior a la de escape "dejará de ascender" a una distancia inferior al infinito.

Un objeto proyectado a una velocidad de escape superior seguirá teniendo energía cinética neta y movimiento "hacia afuera" tanto en el infinito como en todas las distancias menores.

¿Conoces el viejo dicho: "Lo que sube, debe bajar"? Si subes a la velocidad de escape o más rápido, no es cierto.

Seguirás disminuyendo la velocidad, pero nunca bajarás, porque la influencia gravitatoria del cuerpo del que estás "escapando" cae (según la regla del inverso del cuadrado) a medida que te alejas. Nunca desaparece, pero nunca es lo suficientemente fuerte como para invertir tu velocidad.

Esta noción también me confundió, pero una forma sencilla de explicarlo sería comparar la atracción gravitatoria sobre el objeto en cada momento dado con la suma de una serie infinita de números, digamos la serie (1/2)+(1/4 )+(1/8)+(1/16)… Es fácil ver que esta serie continúa para siempre, ya que simplemente puede cortar cada nuevo término por la mitad para crear el próximo término. Sin embargo, aunque esta serie siempre se hace más grande, nunca se acercará al infinito. Si pudieras sumar todos los términos infinitos de esta serie, al final sumaría 1.

Piense en una caja vacía con un volumen de 1 metro cúbico. Llena la mitad del volumen con agua, luego llena la mitad del volumen restante con agua, luego la mitad del volumen restante otra vez... te acercarás más y más a llenar la caja exactamente, que es un volumen finito, a pesar de que están agregando agua un número infinito de veces. Si coloca la caja en una balanza frente a una caja idéntica que está completamente llena de agua, la caja a la que está agregando agua nunca inclinará la balanza a su favor.

De la misma manera, si tuviera que sumar la atracción de la gravedad sobre un objeto que viaja a velocidad de escape durante un período de tiempo infinito, encontraría que la atracción de la gravedad sobre ese objeto finalmente suma un número específico: velocidad de escape . Por lo tanto, ir a la velocidad de escape o más rápido que ella significa que el objeto nunca será jalado hacia atrás, de manera similar a cómo la caja de agua parcialmente llena en el párrafo anterior nunca pesará más que la completamente llena.

Tienes razón. Hablar de escapar del campo gravitatorio de la Tierra es una tontería, una tontería confusa y, por lo tanto, inmoral.

Una partícula en reposo a la distancia de Sirio y libre de todas las demás influencias gravitatorias caerá hacia la Tierra. La aceleración es de 56 micras por siglo por siglo.

Si imagina un objeto proyectado hacia arriba desde la Tierra a gran velocidad, la gravedad de la Tierra lo ralentizará y seguirá ralentizándolo para siempre. Debido a que la gravedad se rige por una ley del cuadrado inverso , la desaceleración total suma una cifra finita. (Si la gravedad hubiera sido$1/r$en vez de$1/r^2$la suma habría sido infinita, no finita).

La “velocidad de escape” se define así como “la velocidad a la que tienes que empezar si quieres llegar hasta el infinito sin retroceder”. O más bien, ya que eso es imposible, es la velocidad mayor que todas las que eventualmente retroceden.

Hablar de escapar del campo gravitatorio de la Tierra es mentira, pero al menos comprensible, ya que si estás al lado de Sirio estarás sujeto a aceleraciones gravitatorias muy superiores a las 56 micras por siglo por siglo.

Si cayeras desde el infinito hasta el cuerpo, lo aplastarías con una determinada cantidad de energía, energía que recogiste gradualmente a medida que caías. Sin embargo, si en lugar de eso te alejas del cuerpo con un poco más de energía cinética que la que arrojaste, ¡entonces alcanzarías el infinito y más allá! La velocidad que necesitas para tener esa cantidad de energía cinética es la velocidad de escape.

¿La trayectoria orbital no se volverá infinitamente grande con el aumento de la velocidad inicial?

No, es la respuesta corta (más sobre eso en un momento).

Pero en primer lugar, su confusión básica parece surgir de mezclar dos conceptos separados:

a. Que la trayectoria orbital sea infinitamente grande implica una velocidad inicial infinita (lo que obviamente no es posible en ningún escenario realista: nada en el universo viaja con una velocidad infinita).

b. Para que una trayectoria orbital sea posible implica una velocidad inicial finita , y volvemos a "no es la respuesta corta", porque:

i) Si fuera posible tener una velocidad inicial infinita, por definición eso debe exceder la velocidad de escape, que es una velocidad definida y finita. En el momento en que supera esa velocidad (finita), que sería mucho antes de alcanzar la velocidad infinita, cualquier tipo de órbita se vuelve imposible: el cohete debe salir disparado hacia el espacio.

La órbita es un estado de equilibrio, donde la fuerza que empuja al objeto en órbita lejos del planeta (básicamente, su impulso) es exactamente igual a la fuerza que lo atrae hacia el planeta (básicamente, la gravedad). Si el ímpetu hacia afuera está en equilibrio exacto con el ímpetu hacia adentro, el equilibrio así logrado hace que el objeto en órbita mantenga una distancia constante del planeta: una órbita.

ii) Un ligero desequilibrio en esas fuerzas hará que el objeto en órbita se aleje a una distancia de radio mayor, o se acerque a una distancia de radio menor; pero un gran desequilibrio (positivo) dará como resultado que el objeto abandone la órbita: dejará de seguir una trayectoria curva alrededor del planeta: el mayor desequilibrio hará que siga, cada vez más, una trayectoria menos curva, hasta que la trayectoria haya dejado en gran medida de ser curva en absoluto: el objeto ahora va en línea recta (aproximadamente), por lo que ha dejado de orbitar.

iii) Habiendo alcanzado una vez la velocidad de escape, ya sea que esto siga o no a una etapa en órbita, si el cohete no hace más que mantener su velocidad constante, nunca podrá ser recapturado por la gravedad del planeta, porque la fuerza gravitacional disminuye con la distancia: bajo el ley del cuadrado inverso, cuando la distancia al planeta se duplica la fuerza gravitatoria no es constante, sino que se reduce a una cuarta parte. Con una velocidad meramente constante, el cohete nunca puede ser capturado por la fuerza gravitatoria descendente ( porque esta última está cayendo).

Solo al desacelerar podría el cohete reducir su impulso de modo que viajara con menos velocidad que el umbral crítico necesario para el equilibrio, es decir, una órbita, a su nueva distancia de radio del planeta (estaría involucrada una desaceleración muy grande, una vez que el cohete haya llegado ) . viajó incluso una distancia corta, porque en la vida real, a una distancia muy corta del planeta, su gravedad cede el paso a la gravedad mucho mayor del Sol, y el planeta se convierte a partir de entonces en una influencia insignificante).

Entonces surge otro malentendido en su pregunta: al tratar al planeta como si fuera la única fuente de gravedad en el espacio cercano, ¡se ha engañado a sí mismo al descuidar las fuerzas gravitatorias cercanas más fuertes! Esas fuerzas superan los efectos planetarios a distancias bastante cortas, de modo que sus suposiciones sobre la trayectoria orbital se desmoronan una vez que el cohete se ha movido a una distancia bastante corta del planeta.

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ANEXO -

Las diferencias muy pequeñas en la altitud orbital asociadas con una órbita elíptica son irrelevantes para mi respuesta. El único problema relevante es si la órbita es estable: si lo es, las pequeñas diferencias de altitud no aclararán la posición. Estoy abordando solo el problema principal: ¿el satélite-cohete puede acelerar (sacarlo de la órbita) y puede desacelerar (sacarlo de la órbita)?

Nos guste o no, en realidad todos los cohetes queman combustible a un ritmo constante, y la única razón por la que van más rápido es que la resistencia gravitatoria a su movimiento disminuye a medida que aumenta la altitud , obedeciendo la ley del inverso del cuadrado.

Al quemar combustible a una velocidad constante, la cantidad de combustible que es posible transportar establece un límite real en su velocidad inicial (si va más allá de la órbita terrestre), y existen restricciones prácticas sobre el peso del combustible que es posible levantar. (cada tonelada adicional de combustible en los tanques aumenta la masa que debe elevarse al espacio). Por lo tanto, aumentar la carga útil de combustible también tiene consecuencias negativas, no puramente positivas.

Y una velocidad inicial lo suficientemente alta evitará que el cohete entre en órbita: hará lo que hacen las sondas planetarias y partirá hacia Marte o más allá. Si nunca completa ni siquiera una sola órbita, no es razonable describirlo como si tuviera una órbita. Si también abandonará el sistema solar, como hacen algunos, ni siquiera estará orbitando alrededor del Sol, en ningún sentido significativo.

La influencia gravitatoria de un solo quark es minúscula, para un quark individual, por lo que es lógico concluir que su radio también es minúsculo. Por lo tanto, no es lógico concluir que su influencia es infinita. La ley del cuadrado inverso demuestra que incluso con objetos de masa estelar, la influencia declina rápidamente. Duplicando la distancia, la fuerza se reduce a un cuarto, es decir, 25 por ciento (1 sobre 2 al cuadrado, es decir, 1/4). A 8 veces la distancia, la fuerza es sólo uno por ciento (1 sobre 8 al cuadrado, es decir, 1/64).