Relación matemática entre la velocidad de escape y la velocidad orbital

Question

Relación matemática entre la velocidad de escape y la velocidad orbital

gen-ℤ listo para perecer

Soy un estudiante de secundaria en AP Physics C. Actualmente estamos en nuestra unidad de gravitación, y una de mis preguntas de tarea es la siguiente:

Demuestre que la velocidad de escape, $v_e$ , de un planeta está relacionado con la velocidad de una órbita circular casi sobre la superficie del planeta, $v_c$ , de acuerdo con la siguiente ley: $v_e = \sqrt 2 v_c$ .

Sé que al pasar de un estado orbital a un estado ilimitado, no se debe realizar ningún trabajo externo en el sistema objeto-planeta, por lo que debería poder usar la conservación de la energía:

\begin{aligned} {mi}_{1} & = {mi}_{2} \\ k_{C} + {tu}_{GRAMO C} & = k_{mi} \end{aligned}

$\begin{align} E_1 &= E_2 \\ K_c + U_{Gc} &= K_e \end{align}$

Decidí dejar igual el radio de la órbita acotada $r_c$ , la masa del objeto igual $m$ , y la masa del planeta igual $M$ .

\frac{1}{2} metro v_{C}^{2} - \frac{GRAMO metro METRO}{r_{C}} = \frac{1}{2} metro v_{mi}^{2}

$\frac{1}{2}mv_c^2 - \frac{GmM}{r_c} = \frac{1}{2}mv_e^2$

Como era de esperar, la masa $m$ del objeto en sí es irrelevante:

\frac{1}{2} v_{C}^{2} - \frac{GRAMO METRO}{r_{C}} = \frac{1}{2} v_{mi}^{2}

$\frac{1}{2}v_c^2 - \frac{GM}{r_c} = \frac{1}{2}v_e^2$

Aquí es donde inmediatamente me quedo atascado, así que para obtener $M$ y $r_c$ fuera de la ecuación, agrego una segunda ecuación que interpreta la fuerza de la gravedad mientras el objeto está en una órbita circular limitada como una fuerza centrípeta:

\begin{aligned} F_{C} = metro a_{C} & = F_{GRAMO} \\ metro \frac{v_{C}^{2}}{r_{C}} & = \frac{GRAMO metro METRO}{r_{C}^{2}} \\ v_{C}^{2} & = \frac{GRAMO METRO}{r_{C}} \end{aligned}

$\begin{align} F_c = ma_c &= F_G \\ m\frac{v_c^2}{r_c} &= \frac{GmM}{r_c^2} \\ v_c^2 &= \frac{GM}{r_c} \end{align}$

¡Qué maravilloso! Creo. Debería poder sustituir esto de nuevo y resolver para $v_e = \sqrt 2 v_c$ . . . .

\begin{aligned} \frac{1}{2} v_{C}^{2} - v_{C}^{2} & = \frac{1}{2} v_{mi}^{2} \\ - \frac{1}{2} v_{C}^{2} & = \frac{1}{2} v_{mi}^{2} \\ - v_{C}^{2} & = v_{mi}^{2} \\ \sqrt{- v_{C}^{2}} & = v_{mi} \\ \sqrt{- 1} v_{C} & = v_{mi} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2}v_c^2 - v_c^2 &= \frac{1}{2}v_e^2 \\ -\frac{1}{2}v_c^2 &= \frac{1}{2}v_e^2 \\ -v_c^2 &= v_e^2 \\ \sqrt{-v_c^2} &= v_e \\ \sqrt{-1}v_c &= v_e \end{align}$

Bueno, ¿no es encantador? La clásica respuesta no real. Mi primera sospecha es que cometí un error aritmético, pero no puedo encontrarlo. Ahora estoy pensando que mi error más probable estaría relacionado con los signos de las fuerzas, ya que no estoy usando vectores unitarios para realizar un seguimiento de las direcciones. (Mi tabla de fórmulas dice " $a_c = v^2/r = \omega^2r$ " y " $\left\vert \vec{F}_G \right\vert = Gm_1m_2/r^2$ .”)

¿Alguien tiene alguna idea de qué error(es) cometí o qué paso(s) no pude producir? Si pudiera, proporcione algunas líneas de ecuación que muestren su proceso de pensamiento y las sustituciones que hace.

david z

Para que conste: las personas que nos piden que no marquemos su pregunta como fuera de tema suelen ser una gran señal de alerta de que la pregunta está, de hecho, fuera de tema. Afortunadamente, esta parece ser una de las excepciones. (Pero es algo a tener en cuenta para el futuro que pedir que no se suspenda su pregunta es más perjudicial que útil).

Diracología

Realmente no entiendo lo que estás haciendo en las primeras ecuaciones. La velocidad de escape es la velocidad que necesitas para lanzar la partícula (desde la superficie) de modo que alcance el infinito con velocidad cero. La conservación de energía en este caso dice

m v_{e}^{2} / 2 - G m M / r_{c}^{2} = 0

$mv_e^2/2-GmM/r_c^2=0$ .

Respuestas (2)

Relación matemática entre la velocidad de escape y la velocidad orbital

Para que conste: las personas que nos piden que no marquemos su pregunta como fuera de tema suelen ser una gran señal de alerta de que la pregunta está, de hecho, fuera de tema. Afortunadamente, esta parece ser una de las excepciones. (Pero es algo a tener en cuenta para el futuro que pedir que no se suspenda su pregunta es más perjudicial que útil).
Realmente no entiendo lo que estás haciendo en las primeras ecuaciones. La velocidad de escape es la velocidad que necesitas para lanzar la partícula (desde la superficie) de modo que alcance el infinito con velocidad cero. La conservación de energía en este caso dice $mv_e^2/2-GmM/r_c^2=0$ .

Bardeen · Answer 1

La velocidad de escape se puede encontrar mediante la ecuación $E= K+ U = 0$ entonces $K=-U$ al final obtienes esto

v_{mi} = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{R}}

$v_e =\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ Para encontrar la velocidad orbital usas esto

\frac{GRAMO metro METRO}{R} = \frac{metro v^{2}}{R}

$\frac{GmM}{R}=\frac{mv^2}{R}$ entonces

v_{C} = \sqrt{\frac{GRAMO METRO}{R}}

$v_c=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ por lo que es fácil notar la relación entre los dos

¡He estado intentando esto durante tres días y tu explicación lo hizo funcionar!

Miguel · Answer 2

Miguel

Hay dos problemas en su cálculo. Primero el estado de energía para el caso de escape. Está utilizando la energía cinética al comienzo de la ruta de escape y la energía potencial en el estado final. Necesitas que ambos estén en el estado final, y en el estado final, el objeto tendrá velocidad 0. Entonces solo hay energía potencial. El otro tema es el signo de la energía potencial. La energía potencial crece a medida que crece la distancia. Entonces, en la superficie de la tierra hay energía potencial cero y, a medida que el objeto se eleva, esa energía potencial aumenta. Estos 2 cambios le darán el resultado correcto.

gen-ℤ listo para perecer

¡OK muchas gracias! Voy a probar eso ahora mismo y ver si puedo resolver el problema. Agradezco la ayuda.

gen-ℤ listo para perecer

Es verdad, pero sigo teniendo algunas dificultades. Esto es lo que tengo:

gen-ℤ listo para perecer

F_{GRAMO} = F_{C}

$F_G=F_c$

\frac{GRAMO METRO metro}{R^{2}} = \frac{metro v_{C}^{2}}{R}

$\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_c^2}{R}$

\frac{GRAMO METRO}{R} = v_{C}^{2}

$\frac{GM}{R}=v_c^2$ Dónde

M

$M$ es la masa del planeta y

R

$R$ es el radio del planeta

gen-ℤ listo para perecer

{mi}_{s tu r F a C mi} = {mi}_{tu norte b o tu norte d}

$E_{surface}=E_{unbound}$

k + {tu}_{GRAMO} = 0

$K+U_G=0$

\frac{1}{2} metro v_{C}^{2} + \frac{1}{2} metro v_{mi}^{2} - \frac{GRAMO METRO metro}{R} = 0

$\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0$

\frac{1}{2} (v_{C}^{2} + v_{mi}^{2}) = v_{C}^{2}

$\frac{1}{2}\left( v_c^2+v_e^2\right)=v_c^2$

v_{C}^{2} + v_{mi}^{2} = 2 v_{C}^{2}

$v_c^2+v_e^2=2v_c^2$

v_{mi}^{2} = v_{C}^{2}

$v_e^2=v_c^2$

gen-ℤ listo para perecer

¿Alguna idea de adónde ir desde aquí?

Miguel

El lado izquierdo de tu segunda ecuación es el problema aquí. Tienes

K_{c} - U_{G c}

$K_{c}-U_{Gc}$ . Para el objeto escapado,

K_{c} = 0

$K_c=0$ y

U

$U$ es positivo. Entonces esa ecuación se convierte en

U_{G c} = K_{e}

$U_{Gc}=K_e$ . El resto de su trabajo sigue hasta el último conjunto de ecuaciones que es una modificación de la segunda ecuación. Cuando los cambie, verá su respuesta.

Relación matemática entre la velocidad de escape y la velocidad orbital

gen-ℤ listo para perecer

david z

Diracología

Respuestas (2)

Bardeen

gen-ℤ listo para perecer

Miguel

gen-ℤ listo para perecer

gen-ℤ listo para perecer

gen-ℤ listo para perecer

gen-ℤ listo para perecer

gen-ℤ listo para perecer

Miguel

¿Por qué v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} no es una ecuación válida para la velocidad de escape?

Pon una bala en órbita alrededor de la luna

Movimiento descrito por a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Velocidad para lanzar algo al espacio.

¿Cómo derivar la relación del cuadrado inverso en la Ley de Gravitación de Newton a partir de las leyes de Kepler?

La ley de Kepler y mi problema

Mecánica orbital: ¿se estrellará un satélite?

No hay órbitas cerradas estables para un campo gravitatorio newtoniano en d≠3d≠3d\neq 3 dimensiones espaciales

Aclarando la confusión sobre la mecánica orbital

problema de la ley de kepler