Velocidad de escape de un cohete que se encuentra en Ganímedes (Luna de Júpiter) [cerrado]

Question

Velocidad de escape de un cohete que se encuentra en Ganímedes (Luna de Júpiter) [cerrado]

Aufwind

Quiero calcular la velocidad de escape de un cohete, parado en la superficie de Ganímedes (luna de Júpiter) e intentando salir de Ganímedes.

Mi pensamiento fue, la energía cinética $E_{\text{KIN}}$ debe ser igual o mayor que la energía potencial $E_{\text{POT}}$ . Entonces $E_{\text{KIN}}\geq E_{\text{POT}}$

Asumiendo $m$ es la masa del cohete y $M_G$ es la masa de la luna Ganímedes y $M_R$ es el radio de la luna y $v$ es la velocidad del cohete y $G$ es la constante gravitatoria que podemos establecer

GRAMO \frac{metro {METRO}_{GRAMO}}{R_{GRAMO}^{2}} = \frac{metro v^{2}}{2 R_{GRAMO}}

$G \frac{mM_G}{R^2_G}=\frac{mv^2}{2R_G}$ lo que resulta en

\sqrt{2 GRAMO \frac{{METRO}_{GRAMO}}{R_{GRAMO}}} = v

$\sqrt{2G \frac{M_G}{R_G}}=v$

La primera pregunta que tengo es: ¿Es $G$ una constante solo para la tierra o también se aplica a todos los demás planetas? (Si no aplica, ¿cómo lo calculo?)

Si echas un vistazo a la siguiente imagen, puedes ver que el cohete no solo tiene que superar a Ganímedes sino también al mismo Júpiter:

Júpiter y Ganímedes

Así que construí la fórmula de esta manera:

GRAMO \frac{{METRO}_{j}}{R^{2}} + GRAMO \frac{{METRO}_{GRAMO}}{R_{GRAMO}^{2}} = \frac{v^{2}}{2 R_{GRAMO}}

$G \frac{M_J}{R^2} + G \frac{M_G}{R^2_G}=\frac{v^2}{2R_G}$ dónde

M_{J}

$M_J$ es la masa de Júpiter y

R

$R$ es la distancia desde el centro de Júpiter hasta el punto de partida del cohete.

¿Esto suena bien?

Alejandro

Estoy cansada, pero esto se siente extraño. El enfoque habitual es observar las fuerzas involucradas, no las energías cinéticas. También descuidas cómo se impulsa el cohete. Su masa no es constante después de arrancar los motores. Y sí, G es una constante universal.

Aufwind

Gracias por tu comentario, Alejandro. Tienes razón sobre el cambio de la masa del cohete. Pero solo lo vemos como un modelo, así que lo descuidamos. El cohete se dirige directamente a la derecha en una línea con los dos centros de la luna y el planeta. (Hay una flecha en la imagen). Yo tambien estoy cansada. Lo siento por cualquier error tipográfico y tal... :-)

Alejandro

Busque los "2" que faltan y debería estar bien :-)

Respuestas (1)

Velocidad de escape de un cohete que se encuentra en Ganímedes (Luna de Júpiter) [cerrado]

Estoy cansada, pero esto se siente extraño. El enfoque habitual es observar las fuerzas involucradas, no las energías cinéticas. También descuidas cómo se impulsa el cohete. Su masa no es constante después de arrancar los motores. Y sí, G es una constante universal.
Gracias por tu comentario, Alejandro. Tienes razón sobre el cambio de la masa del cohete. Pero solo lo vemos como un modelo, así que lo descuidamos. El cohete se dirige directamente a la derecha en una línea con los dos centros de la luna y el planeta. (Hay una flecha en la imagen). Yo tambien estoy cansada. Lo siento por cualquier error tipográfico y tal... :-)

Ron Maimón · Answer 1

La respuesta no es correcta, pero solo porque las fórmulas de energía potencial y energía cinética están mal escritas.

Para encontrar la velocidad de escape, el cambio en la energía cinética más la energía potencial del cohete se establece en cero. Si el cohete va a la velocidad de escape, no se mueve al final y no tiene energía potencial (en la convención habitual donde la energía potencial entre masas gravitatorias puntuales se desvanece en el infinito). Esto da la ecuación:

\frac{metro v^{2}}{2} - \frac{GRAMO metro {METRO}_{j}}{R_{j GRAMO}} - \frac{GRAMO metro {METRO}_{GRAMO}}{R_{GRAMO}} = 0

${mv^2\over 2} -{G m M_J\over R_{JG}} - {G m M_G\over R_G} = 0$

Donde el lado izquierdo involucra $R_{JG}$ , la distancia entre Júpiter y Ganímedes, $R_G$ es el radio de Ganímedes, $M_J$ , la masa de Júpiter, $M_G$ , la masa de Ganímedes, y m, la masa del cohete (que se divide por ambos lados). También hay pequeñas correcciones dependiendo de la velocidad de rotación de Ganímedes y de si comienzas en el lado de Júpiter o en el lado lejano de Júpiter de la luna. Resolver para v da su ecuación. No sé por qué dividiste por factores R, la energía potencial es solo el producto de las masas divididas por la distancia por G.

G es universal para toda la materia del universo --- es una constante universal que es la misma en la Tierra, en Júpiter o en cualquier otro lugar. Puede considerarlo como una constante que fija la unidad de masa correcta para nuestro universo como la masa de Planck, una vez que primero establece la velocidad de la luz y la constante de Planck (dividida por 2pi) en uno.

La respuesta para la velocidad de escape es

v = \sqrt{\frac{2 GRAMO {METRO}_{j}}{R_{GRAMO j}} + \frac{2 GRAMO {METRO}_{GRAMO}}{R_{GRAMO}}}

$v= \sqrt{{2 GM_J \over R_{GJ}} + {2 GM_G\over R_G} }$

EDITAR: omisión estúpida

Dejé algo no despreciable, ¡que Ganímedes está orbitando alrededor de Júpiter! Así que ya tiene una gran velocidad, suficiente para compensar la mitad de la energía potencial negativa de la gravedad. El cohete, si despega en la dirección óptima, siguiendo la dirección de la órbita de Ganímedes, solo necesitará aumentar su velocidad a la velocidad de escape desde la velocidad orbital inicial ya grande. El cohete, en relación con la superficie de Ganímedes, solo necesitará obtener un incremento de velocidad que sea igual a v desde arriba.

La velocidad inicial del cohete es igual a la velocidad orbital de Ganímedes alrededor de Júpiter. $v_i$ , que se encuentra haciendo que la fuerza gravitacional sea la fuerza centrípeta

v_{i} = \sqrt{\frac{GRAMO {METRO}_{j}}{R_{j GRAMO}}}

$v_i = \sqrt{GM_J\over R_{JG}}$

Y la respuesta correcta para la velocidad de escape que necesitaría adquirir un cohete en relación con Ganímedes es $v-v_i$ .

EDITAR: segunda G?

Añadida una constante G perdida :/

Una cosa que no entiendo. es la distancia $R_{JG}$ entre el centro de masa de Júpiter y el centro de masa de Ganímedes? Además, para la energía potencial entre el cohete y Júpiter, ¿por qué no incluyeste el radio de Ganímedes? ¿No debería ser así? $- \frac{GRAMO metro {METRO}_{j}}{R_{j GRAMO} + R_{GRAMO}}$ $-{G m M_J\over R_{JG} + R_G}$

Velocidad de escape de un cohete que se encuentra en Ganímedes (Luna de Júpiter) [cerrado]

Aufwind

Alejandro

Aufwind

Alejandro

Respuestas (1)

Ron Maimón

EDITAR: omisión estúpida

EDITAR: segunda G?

nazaf

Ron Maimón

Lanzamiento de cohetes desde una montaña

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Velocidad de escape en un ángulo

¿Por qué v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} no es una ecuación válida para la velocidad de escape?

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