¿Cómo se mide la curvatura kkk en la métrica FLRW?

Question

¿Cómo se mide la curvatura kkk en la métrica FLRW?

SRS

¿Cómo se mide el parámetro de curvatura? $k$ en la métrica FLRW?

d s^{2} = - C^{2} d t^{2} + a^{2} (t) [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}]

$ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2]$ En particular, ¿cuál es la ecuación conveniente (que implica

k

$k$ ) que es/puede ser usado para medir

k

$k$ ?

EDITAR Estoy buscando una respuesta que explique la medición de la curvatura $k$ con la misma claridad que la medición de la constante elástica $\kappa$ de la ecuación armónica simple unidimensional $F=-\kappa x$ es decir, habiendo medido la fuerza aplicada $F$ (se puede hacer con una balanza de resorte puede ser) y el desplazamiento correspondiente $x$ (por una regla de metro), se puede medir $\kappa$ . De manera similar, si la ecuación que involucra la curvatura $k$ contiene cantidades físicas no triviales (como los componentes del tensor de curvatura de Riemann, etc.), me gustaría saber cómo se mide cada uno de ellos.

Respuestas (2)

¿Cómo se mide la curvatura kkk en la métrica FLRW?

gertiano · Answer 1

Esta es una pregunta muy difícil de responder en detalle, ya que requiere varias páginas de matemáticas para derivar las fórmulas requeridas (no hay un ajuste fácil como $F=-kx$ como sugeriste)

No derivaré la fórmula (se puede encontrar, por ejemplo, en Dodelson), pero después de un poco de trabajo obtienes:

Δ (metro - METRO) = 5 registro {(\frac{C}{H_{0}} \sqrt{\frac{k}{Ω_{t o t a yo} - 1}} (1 + z)) S_{k} (\sqrt{\frac{Ω_{t o t a yo} - 1}{k}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{(1 + z^{'}) \sqrt{(1 + z^{'}) (1 - Ω_{Λ}) + Ω_{Λ} / (1 + z^{'})^{2}}})} - 5 registro (\frac{1}{2} ((1 + z)^{2} - 1))

$\Delta(m-M) = 5\log\left\{ \left( \frac{c}{H_0}\sqrt{\frac{k}{\Omega_{total}-1}}(1+z) \right)S_k\left(\sqrt{\frac{\Omega_{total}-1}{k}}\int_0^z \frac{dz'}{(1+z')\sqrt{(1+z')(1-\Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda/(1+z')^2}} \right)\right\} \\ - 5\log\left(\frac{1}{2}((1+z)^2-1)\right)$

Dónde $\Delta(m-M) = (m-M)_{'real'\ universe} - (m-M)_{empty\ universe}$ . M se puede obtener usando velas estándar como las supernovas tipo Ia, es fácil de calcular $(m-M)_{empty\ universe}$ a través de una ecuación similar a la anterior y $m_{'real'\ universe}$ es simplemente la magnitud que medimos. Por lo tanto $\Delta(m-M)$

$S_k(...) = sinh(...), sin(...) or 1$ dependiendo del valor de $k$

$\Omega_\Lambda, \Omega_{total}=\Omega_\lambda+\Omega_{matter}, H_0$ y k permanecen desconocidos.

El siguiente paso es medir muchas velas estándar en varios desplazamientos al rojo z y trazar su $\Delta(m-M)$ relación en función de z. Esto debe obedecer a la relación anterior. Todo lo que queda por hacer es ejecutar un script adecuado que se ajuste a la función anterior para $\Delta(m-M)$ para varios valores de $k, \Omega_\Lambda,...$ el mejor ajuste nos lo da la cosmología observada.

En la figura a continuación, puede ver tal ajuste de un proyecto que hice el semestre anterior donde tuvimos que calcular k para un conjunto de datos.

Obviamente, los ajustes son difíciles de hacer debido a las degeneraciones en el ajuste y las gráficas de incertidumbre se pueden hacer como esta:

Mis resultados para el ajuste anterior fueron: $\Omega_{matter} = 0.286 \pm 0.031$ , $\Omega_{\Lambda} = 0.721 \pm 0.025$ , $H_0(km/s/MPc) = 70.3 \pm 2.58$ lo cual es consistente con k = 0.

Espero que esto haya ayudado :)

Tal vez podría decir cuál es su mejor ajuste $k$ es y su incertidumbre? Además, ¿está seguro de que su declaración no debería ser $S_k(...) = \sin(...), \sinh(...)\text{ or }1$ en lugar de lo que tienes? Desde el aspecto de su primera trama, parecería obtener un resultado que " $k$ puede no ser mayor que x con incertidumbre y" tipo de resultado dados los diferenciales en el alto $z$ datos. ¿Es esto así? También es así como los astrónomos reales medirían $k$ ; Podría imaginar que hay varios métodos diferentes.
Edité mis resultados (aunque parece que no puedo encontrar mi resultado final en k). y de hecho tienes razon $S_k = sin, sinh or 1$ Me equivoqué... Bueno, una vez que obtienes tus parámetros cosmológicos, solo es cuestión de sacar k de ellos y, de hecho, obtienes una extensión del resultado, pero parece que lo he perdido... Hasta donde yo sé, esto es el método más aceptado para "ajustar" cosmologías a conjuntos de datos, ya que le permite tener en cuenta lo que sucedió hace mucho tiempo si encuentra velas estándar en esos redshits. La investigación actual se dirige hacia la búsqueda de esos objetos de alto corrimiento al rojo.
Una pena que lo hayas perdido: es una gran respuesta práctica. Por favor publícalo si lo encuentras.
Gracias, es bueno escuchar eso :) Si tengo algo de tiempo pronto, lo buscaré y te etiquetaré en el comentario. Pero mi tesis de maestría me grita fuerte en estos días...

Juan Rennie · Answer 2

Simplemente mide la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio.

Tome una subvariedad espacial y, por conveniencia, tomaremos $a=1$ (las unidades de la distancia radial siempre se pueden elegir para hacer $a=1$ como cualquier momento elegido). Entonces la métrica espacial se convierte en:

d ℓ^{2} = \frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}

$d\ell^2=\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$

Dibuja un círculo contigo mismo en el origen. Para obtener la circunferencia del círculo integramos alrededor del ángulo ecuatorial $\phi$ mientras se mantiene $r$ fijo y $\theta$ fijado en $\pi/2$ . Desde $dr = d\theta = 0$ la métrica se convierte en:

d ℓ^{2} = r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}

$d\ell^2=r^2\sin^2\theta d\phi^2$

La circunferencia es entonces:

C = \int_{0}^{2 π} r d ϕ = 2 π r

$C = \int_0^{2\pi}\,rd\phi = 2\pi r$

lo que no debería sorprendernos indebidamente :-)

Ahora tomamos una cinta métrica y medimos la distancia al círculo. En este proceso estamos manteniendo $\theta$ y $\phi$ arreglado así $d\theta = d\phi = 0$ por lo que nuestra métrica se convierte en:

d ℓ^{2} = \frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}}

$d\ell^2=\frac{dr^2}{1-kr^2}$

Entonces la distancia que medimos es:

R = \int_{0}^{r} \frac{d r}{\sqrt{1 - k r^{2}}}

$R = \int_0^r\,\frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}$

La integral depende del signo de $k$ . para positivo $k$ (universo cerrado) obtenemos:

R = \frac{{pecado}^{- 1} (\sqrt{k} r)}{\sqrt{k}}

$R = \frac{\sin^{-1}(\sqrt{k}\,r)}{\sqrt{k}}$

y por negativo $k$ (universo abierto) obtenemos:

R = \frac{{pecado}^{- 1} (\sqrt{| k |} r)}{\sqrt{| k |}}

$R = \frac{\sinh^{-1}(\sqrt{|k|}\,r)}{\sqrt{|k|}}$

Encontrar $k$ simplemente sustituya $r = C/2\pi$ , dónde $C$ es nuestra circunferencia medida experimentalmente, y resolver la ecuación resultante para $k$ .

Ese es un enfoque agradable y simple, pero no puedo imaginar que esto funcione en un contexto experimental, su círculo tendría que ser increíblemente grande para que esto funcione. Y también olvidaste que k está reescalado de tal manera que k = 0 o +-1. Entonces, su fórmula final no puede diferenciar las curvaturas positivas y negativas.
@gertian: sí, esta no es una medida que podría hacer en la práctica. Observo que su respuesta explica cómo se podría realizar la medición utilizando datos cosmológicos reales, y creo que es una muy buena respuesta. Creo que nuestras respuestas son complementarias ya que la mía es más una respuesta en principio , mientras que la tuya es más práctica. Lo que prefiera SRS dependerá de cuál sea su motivación para la pregunta. Por cierto, aunque normalmente cambiamos la escala para establecer $k = 0,\pm 1$ no tenemos que hacer eso.
Esta matemática no parece funcionar. Estoy de acuerdo con tu deducción, pero cuando realizo los cálculos en una esfera, obtengo una respuesta incorrecta con tu fórmula. Si uso trigonometría básica, obtengo esta fórmula que me da la respuesta correcta: $R = {\sqrt{k}}^{- 1} s i norte (\sqrt{k} r)$ $R=\sqrt{k}^{-1}\space sin\left(\sqrt{k}\space r\right)$ ¿Alguna idea de por qué hay una diferencia entre la fórmula que obtienes usando la métrica y la fórmula elaborada con trigonometría?

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