Significado de Sigma en la transformada de Laplace

Como la mayoría de la gente sabe,$s=\sigma+j\omega$(dónde$j\omega$es la frecuencia a lo largo del eje x en un diagrama de Bode o análisis de espectro). Sin embargo, en un diagrama de Bode,$\sigma$no tiene un significado aparente, pero en realidad es el eje z "invisible" (dentro y fuera de la pantalla/página).

Si la frecuencia de resonancia natural del circuito RLC fuera de 1 radian por segundo, entonces el eje z es puramente zeta, la relación de amortiguamiento. Esa es la respuesta simple. Las imágenes más completas (con suerte) deberían ser evidentes con esta imagen que muestra diagramas de Bode de ejemplo en la parte superior y el diagrama de polo cero en 3D en la parte inferior izquierda: -

Como debería poder ver, el "eje z" (o$\sigma$eje) tiene valores correspondientes a$\omega_n$(la frecuencia resonante natural aka$\frac{1}{\sqrt{LC}}$) y la relación de amortiguamiento zeta ($\zeta$).

Se supone que s es sigma + jw, y sigma surge para que la integral transformada converja. Sin embargo, cuando se construyen diagramas de Bode, esto se ignora por completo. ¿Por qué?

Ojalá puedas verlo ahora.

¿Hay un significado físico para sigma?

Básicamente es la relación de amortiguamiento multiplicada por la frecuencia de resonancia natural para valores de zeta entre 0 y 1.

Los efectos en el diagrama de Bode de ceros y polos son cambiar la pendiente en incrementos de 20dB (magnitud de Bode), la ganancia no es realmente infinita en los polos, ya que s se reemplaza por jw y si los polos son reales, siendo s complejo nunca tendrá esos valores reales por lo que el diagrama de Bode se vuelve infinito. ¿Cuál es el significado de este?

La ganancia ES infinita en los polos, indiscutiblemente. El resto de esa pregunta en particular probablemente sea irrelevante debido a ese concepto erróneo.

Se puede encontrar una región de convergencia (ROC) para s, que es un rango de valores para s para que las integrales converjan. ¿Para qué sirve el ROC? ¿Qué sucede cuando la frecuencia está fuera de la República de China? Los libros de texto son bastante buenos para mostrar cómo encontrar estos ROC, pero no para aclarar qué efectos tienen en su circuito.

No tengo idea de qué significa esto o cómo responderlo, lo siento.

la función de transferencia 1/(s+1) tiene un polo en s = -1. Esto significa que sigma = -1 y omega es cero. Sin embargo, cuando se hace un diagrama de Bode, se establece que s es igual a jomega, que es un número imaginario puro. Entonces, la función de transferencia en s = jomega no es infinita en absoluto. Si no es infinito, ¿qué valor tendría? ¿Por qué estamos interesados ​​en s = j*omega en lugar de s = -1 para la función anterior?

Piensa así: tienes una mesa y en esa mesa colocas tu lápiz en posición vertical en el medio (este es el poste). Luego coloca un pañuelo muy delgado y flexible sobre el extremo del lápiz. El contorno que hace el pañuelo produce un efecto tienda pero más perfecto: -

En cualquier punto de esa pole position, el pañuelo tiene un valor numérico perfectamente definido. Por ejemplo, si dibujas un círculo alrededor del poste, todos los puntos del pañuelo tendrán la misma amplitud. Si el polo está en -1, entonces, la amplitud cuando s = 0+j0 (el origen) es 1. La amplitud en 0+j1 necesita pensarse un poco más: la distancia desde el polo hasta 0+j1 es 1,4142, por lo tanto, la amplitud es el recíproco de 1.4142, es decir, 0.7071 (también conocido como el punto de 3 dB del filtro RC simple que describe su ejemplo numérico de números).

En 0+j2, la distancia desde el polo es$\sqrt{1^2+2^2}$= 2.236 y por lo tanto la amplitud es 0.4472.

A 0+j10 (diez veces la frecuencia de 3 dB), la distancia es$\sqrt{1^2+10^2}$= 10,05 y la amplitud es 0,0995.

Esto también se puede extender a pares de polos complejos y ceros. En cualquier punto del eje jw (llamado X a continuación) la amplitud es: -