Sakurai afirma que si tenemos un conjunto completo y máximo de observables compatibles, digamos Entonces, un vector propio representado por , dónde son valores propios respectivos, es único. ¿Por que es esto entonces? ¿Por qué no puede haber dos vectores propios con los mismos valores propios para cada observable? ¿La maximalidad del conjunto tiene algún papel que jugar en él?
Suponga que tiene un conjunto máximo y dos estados y con el mismo conjunto de valores propios en ese conjunto. Luego construye el operador . Convéncete de que distinguiría entre y , y que conmutaría con todos --- es decir, su conjunto original no era máximo.
La respuesta se basa en una propiedad algebraica de unicidad de vectores propios y valores propios.
Caso no degenerado
Supongamos que existen dos vectores propios y que el espectro no es degenerado. Llamemoslos y (Considero solo un par de observables compatibles en aras de la simplicidad). Si afirma que estos dos vectores propios son independientes, de lo contrario existe una constante tal que , debes tener
y de manera similar
y esto implicará
pero el único operador que tiene esta propiedad es y esto es inconsistente con la hipótesis de partida. Este argumento puede repetirse también para probando la aseveración.
caso degenerado
Cuando hay una degeneración, a un solo valor propio le corresponderá más que un vector propio. Entonces, supongamos que estos egievenctores para el valor propio son y . Suponemos que somos capaces de escribir a partir de ellos un conjunto de dos autovectores ortogonales y normalizados, por ejemplo, a través de una descomposición de Gram-Schmidt, que abarca dicho subespacio bidimensional.
Ahora, el argumento anterior se puede repetir para cada vector propio en el subespacio ya que, si hay un tercer vector propio, más allá de los que forman el subespacio bidimensional, esto será suficiente para probar que .
Por supuesto, todo esto es fácil de extender a cualquier número de operadores.
qmecanico