Una suma en papel de óptica cuántica.

Question

Una suma en papel de óptica cuántica.

óptica
Física
óptica-cuántica
operador de densidad
mecánica cuántica
radiación electromagnética

W.Voltera

Estoy hojeando el papel " Momentos de $P$ funciones y profundidades no clásicas de los estados cuánticos ”, que contiene el siguiente pasaje:

A. Estado térmico

La matriz de densidad del estado térmico se puede escribir como
$\begin{matrix} (3.1) & {\hat{ρ}}_{el} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{⟨ norte ⟩^{norte}}{(⟨ norte ⟩ + 1)^{norte + 1}} | norte ⟩ ⟨ norte | . \end{matrix}$ $\hat{\rho}_{\text{th}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}}\lvert n\rangle\langle n\rvert.\tag{3.1}$ Entonces, podemos obtener los momentos de la siguiente manera: $\begin{aligned} m_{k, yo} & = Tr [({\hat{a}}^{†})^{yo} (\hat{a})^{k} {\hat{ρ}}_{el}] \\ = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{⟨ norte ⟩^{norte}}{(⟨ norte ⟩ + 1)^{norte + 1}} ⟨ norte | ({\hat{a}}^{†})^{yo} (\hat{a})^{k} | norte ⟩ \\ = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{⟨ norte ⟩^{norte}}{(⟨ norte ⟩ + 1)^{norte + 1}} \frac{norte!}{(norte - k)!} d_{k, yo} \\ (3.2) & = k! ⟨ norte ⟩^{k} d_{k, yo} . \end{aligned}$ $\begin{align}\mu_{k,l} &= \operatorname{Tr}\bigl[(\hat{a}^\dagger)^l (\hat{a})^k \hat{\rho}_{\text{th}}\bigr] \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}}\langle n\rvert(\hat{a}^\dagger)^l (\hat{a})^k\lvert n\rangle \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}} \frac{n!}{(n - k)!} \delta_{k,l} \\ &= k!\langle n\rangle^k \delta_{k,l}.\tag{3.2} \end{align}$

Quiero entender el último paso de la ecuación. 3.2. ¿Cómo se lleva a cabo esta suma para llegar a la respuesta final?

knzhou

Pista: usa el teorema del binomio.

Sunyam

La suma final debe ser de

k

$k$ a

\infty

$\infty$ .

por simetría

Si desea hacer una nueva pregunta, hágala como una nueva pregunta en lugar de editar una existente más allá de todo reconocimiento. El objetivo de responder preguntas en este sitio no es solo ayudar a la persona que hace la pregunta, sino también ayudar a otras personas que puedan tener la misma pregunta. Esta pregunta ahora tiene respuestas que no guardan relación con lo que está preguntando, lo que dificulta las cosas para otras personas que buscan respuestas. Invierta su edición y haga su nueva pregunta por separado.

W.Voltera

Lo siento por este error. Recordaré la pregunta y la publicaré de nuevo.

Respuestas (2)

Una suma en papel de óptica cuántica.

Si desea hacer una nueva pregunta, hágala como una nueva pregunta en lugar de editar una existente más allá de todo reconocimiento. El objetivo de responder preguntas en este sitio no es solo ayudar a la persona que hace la pregunta, sino también ayudar a otras personas que puedan tener la misma pregunta. Esta pregunta ahora tiene respuestas que no guardan relación con lo que está preguntando, lo que dificulta las cosas para otras personas que buscan respuestas. Invierta su edición y haga su nueva pregunta por separado.
Lo siento por este error. Recordaré la pregunta y la publicaré de nuevo.

qmecanico · Answer 1

Sugerencia: use el teorema del binomio generalizado

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{(1 - X)^{s}} = \sum_{norte = 0}^{\infty} (s)^{norte} \frac{X^{norte}}{norte!}, X, s \in C, | X | < 1, \end{matrix}

$\frac{1}{(1-x)^s}~=~\sum_{n=0}^{\infty} (s)^n\frac{x^n}{n!}, \qquad x,s\in\mathbb{C} , \qquad|x|<1 , \tag{1}$ dónde

\begin{matrix} (2) & (s)^{norte} := \frac{Γ (s + norte)}{Γ (s)} = \frac{(norte + s - 1)!}{(s - 1)!} \end{matrix}

$(s)^n~:=~\frac{\Gamma(s+n)}{\Gamma(s)}~=~\frac{(n+s-1)!}{(s-1)!}\tag{2}$ es el símbolo de Pochhammer / factorial ascendente .

Nunca había visto la notación $(s)^n$ para el símbolo de Pochhammer - normalmente lo veo anotado $(s)_n$ . ¿Hay alguna razón específica para el cambio?
Es cierto que yo tampoco. Pensé que al elevar el subíndice a un superíndice, no podría confundirse con el factorial descendente .
Bastante justo, solo que ahora se confunde con un poder ordinario ;-). Está claramente etiquetado, así que no es un problema.

Sunyam · Answer 2

Sunyam

Como se señaló en el resumen de mi comentario (más $n$ ) corre de $k$ a $\infty$ como no puedes destruir mas que $n$ fotones en un estado $|n\rangle$ .

Sugerencia: utilice

\sum_{norte = k}^{\infty} \frac{norte!}{(norte - k)!} X_{}^{norte - k} = (\frac{d}{d X})_{}^{k} \frac{1}{1 - X}

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{n!}{(n-k)!}x_{}^{n-k}=(\frac{d}{dx})_{}^{k}\frac{1}{1-x}$ .

W.Voltera

Gracias @Sunyam. ¿Quiere decir que el papel tiene una corrección? Pero esa es la manera de definir la huella. Uno necesita tomar la suma sobre todos los estados n.

Sunyam

El segundo paso está perfectamente bien, pero el tercer paso probablemente puede ser un error tipográfico, la suma debe ser de

k

$k$ a

\infty

$\infty$ (como

⟨ n | (a_{}^{†})_{}^{l} (a_{}^{})_{}^{k} | n ⟩ \neq 0

$\langle n|(a_{}^{\dagger})_{}^{l}(a_{}^{})_{}^{k}|n\rangle \neq 0$ solo para

n \geq k = l

$n\geq k=l$ ).

W.Voltera

Todavía no recibo la respuesta final. ¿Has llegado a eso?

k! ⟨ n ⟩^{k}

$k! \langle n \rangle^k$ ?

Sunyam

Sí. Usar

\sum_{n = k}^{\infty} \frac{⟨ n ⟩_{}^{n}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{n + 1}} \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{⟨ n ⟩_{}^{k}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{k + 1}} \sum_{n = k}^{\infty} (\frac{⟨ n ⟩_{}^{}}{1 + ⟨ n ⟩_{}^{}})_{}^{n - k} \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{⟨ n ⟩_{}^{k}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{k + 1}} (\frac{d}{d x})_{}^{k} (\frac{1}{1 - x}) |_{x = \frac{⟨ n ⟩_{}^{}}{1 + ⟨ n ⟩_{}^{}}} = k! ⟨ n ⟩_{}^{k}

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\langle n \rangle_{}^{n}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{n+1}}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\langle n \rangle_{}^{k}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{k+1}}\sum_{n=k}^{\infty}(\frac{\langle n \rangle_{}^{}}{1 + \langle n \rangle_{}^{}})_{}^{n-k}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\langle n \rangle_{}^{k}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{k+1}}(\frac{d}{dx})_{}^{k}(\frac{1}{1-x})|_{x=\frac{\langle n \rangle_{}^{}}{1 + \langle n \rangle_{}^{}}}=k!\langle n \rangle_{}^{k}$

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