límites en una caja de luz de gauss

Considere una pared definida por w ( X , y , z ) = Θ ( X − L ) que es distinto de cero en el semiespacio infinito de X ≥ L , así como una onda EM estacionaria plana coherente que viaja en el z plano dado por su campo eléctrico:

mi X = Θ ( X − L ) pecado ⁡ ( k z ) pecado ⁡ ( ω t ) , mi y = mi z = 0

Considere una onda estacionaria complementaria que viaja en un plano opuesto, en la región X ≤ − L :

mi X = − Θ ( L − X ) pecado ⁡ ( k z ) pecado ⁡ ( ω t ) , mi y = mi z = 0

ahora, si tomo una pequeña caja cerrada en la región − L − ϵ ≤ X ≤ L + ϵ yz tal que 0 ≤ k z ≤ π , el flujo eléctrico neto sobre esta caja en cualquier momento dado es:

8 Δ y pecado ⁡ ( ω t ) k

Ingenuamente, parecería "concebible" configurar ondas estacionarias de esta manera y producir un flujo eléctrico neto en una región dada de vacío sin cargas espaciales en ninguna parte . Ahora, dado que este flujo aparente aumenta con la longitud de onda, sospecho que existe un límite óptico en la coherencia que las paredes pueden sostener debido a la dispersión, es decir: algo así como Δ k z Δ X ≥ ℏ , pero puedo averiguar exactamente cuál es la razón por la que esto no funcionará.

Lo que estoy tratando de averiguar es qué tan física es esta solución y qué límites impone la óptica en la realización de la caja de Gauss que viola la carga.

Respuestas (2)

Es fácil ver que su luz no puede tener una pared tan bien definida sin cargas, es decir:

∇ ⋅ mi = [ d ( X − L ) + d ( L − X ) ] pecado ⁡ ( k z ) pecado ⁡ ( ω t )

lo que significa que necesita cargas superficiales para sostener la pared.

Oh, ya veo --- el OP estaba tomando el campo para desaparecer dentro de la pared, y haciendo que la caja se extendiera a horcajadas sobre la pared para que una parte esté adentro y otra parte esté afuera. no entendí +1, tuviste la interpretación correcta. La razón por la que no entendí es porque dijo "-(L+\epsilon)<x<L+\epsilon" donde el flujo es cero, y también -(L-\epsilon)<x<L-epsilon (donde todo es onda plana) el flujo es cero. Probablemente quiso decir -L-\epsilon<x<L-\epsilon, donde el flujo es distinto de cero y es lo que dijiste.

El flujo eléctrico neto sobre cualquier caja en cualquier configuración de ondas electromagnéticas sin cargas es cero. Las líneas de campo eléctrico que entran en la caja también salen de la caja. En su caso, es obvio: el campo E está en la dirección x para ambas ondas planas, por lo que el flujo solo es distinto de cero en los dos lados opuestos que están en el plano yz. El flujo que entra por uno de los lados es igual punto por punto al flujo que sale por el otro lado, porque las ondas planas son traslacionalmente invariantes.

En términos más generales, no se puede violar la ley de Gauss al superponer ondas planas; cada una ya satisface la ley de Gauss por sí misma, y ​​al superponer dos cosas que satisfacen la ley de Gauss se obtiene una tercera cosa que también satisface la ley de Gauss. La demostración es notando que para una onda plana

∇ ⋅ mi ∝ k ⋅ mi

es decir, es cero si E es perpendicular a k. Esto simplemente dice que las líneas de campo en una onda plana van de un lado del espacio al otro lado del espacio en cualquier momento, sin ser creadas ni destruidas.

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