Una pregunta sobre la expectativa del número cromático

para un gráfico$G$, dejar$G_{1/2}$sea ​​el subgrafo de$G$que cada borde de$G$se incluye de forma independiente con probabilidad.

Entonces para$H=G_{1/2}$, después de un momento de reflexión, se puede probar que$\chi(H)\chi(H^c)\ge \chi(G)$coloreando cada vértice de$G$por$(c_1,c_2)$para el color$c_1$en la coloración de$H$y$c_2$en eso de$H^c$, dónde$H^c$representa la gráfica del complemento de$H$y$\chi(G)$representa el número cromático de vértice de$G$.

Un enunciado dice que implica$\mathbb{E}(G_{1/2})\ge\chi(G)^{1/2}$. Me pregunto por qué esta afirmación es cierta.

Creo que el argumento anterior sólo implica$\mathbb{E}(\chi(H)\chi(H^c))\ge \mathbb{E}(\chi(G))=\chi(G)$, incluso si sabemos$\mathbb{E}(\chi(H))=\mathbb{E}(\chi(H^c))$(pero no son independientes por lo que no sabemos$\mathbb{E}(\chi(H)\chi(H^c))= \mathbb{E}(\chi(H))\mathbb{E}(\chi(H^c))$?)