Una montaña y una pluma caen desde la misma altura. ¿Cuál choca primero con la Tierra? [duplicar]

Asumamos:

  • la pluma tiene una masa de 0.006 kg
  • la montaña tiene una masa de 6 × 10 15 kg
  • la tierra tiene una masa de 6 × 10 24 kg
  • sin resistencia al aire
  • ambos objetos lanzados al mismo tiempo con una velocidad inicial de 0
  • ambos objetos lanzados a una altura de 10 , 000 metro

¿Golpearía primero la montaña, ya que ella misma ejercería una atracción gravitacional sobre la tierra?

Para los efectos minúsculos que observará el que responde, es importante saber cómo la montaña y la pluma comienzan a 10000 m: ¿cabeza a cabeza, de mitad a mitad, de punta a punta, o de manera diferente? Además, no hay resistencia del aire, ¿pero la gravedad newtoniana o la relatividad general ? (Estoy seguro de que puedo pensar en más detalles con el tiempo...)
Buena pregunta; posible duplicado de physics.stackexchange.com/q/3534 y physics.stackexchange.com/q/156634 , que se preguntó quizás 5 minutos antes que el suyo.
La pregunta tal como es, sospecho que no está haciendo la pregunta que realmente quieres saber. Es decir, en DOS experimentos SEPARADOS, se dejan caer dos objetos, una montaña frente a una pluma. Que golpea la tierra primero. En ese caso la respuesta es la montaña.
De acuerdo, la intención es probar los dos de forma independiente. ¡No queremos empezar a preocuparnos de que la pluma sea atraída por la montaña!

Respuestas (3)

Lamento decirlo, pero la mayoría de las otras respuestas dadas son incorrectas. La solución correcta es usar la masa reducida: http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_mass . La aproximación de que dos cuerpos caen con la misma aceleración en el campo gravitatorio de un tercero solo es válida para masas de prueba ligeras (ese es el principio de equivalencia). Si tenemos que observar la dinámica de los objetos pesados ​​que gravitan unos alrededor de otros, las aceleraciones en el sistema del centro de masa están dadas por las masas reducidas. Eso también es una consecuencia de la relatividad, después de todo, las dos masas son perfectamente equivalentes con respecto a la gravedad.

Como la masa de la montaña es 10 − 9 veces la masa de la Tierra, la masa reducida es ligeramente menor ( 10 − 9 ) que la masa del objeto más ligero. Si trabaja con las matemáticas, probablemente notará que obtiene la misma respuesta que Newton (con un pequeño error).
@LDC3: La pregunta era específicamente si habrá una diferencia. La respuesta es SÍ, habrá una diferencia, no es un experimento nulo. La masa reducida es física 101. El enlace a la pregunta anterior tiene muchas respuestas correctas. La masa reducida ES lo que obtendría Newton si lo hiciera bien.
Esta no es la respuesta. No dice si la pluma o la montaña golpea primero.
@DavidHammen: Y aunque no es una respuesta, es correcta. :-)

TL; DR: Si la carrera se hace interesante, es la pluma la que golpea primero. De lo contrario, es la montaña.

Simplificando suposiciones:

Haré algunas suposiciones simplificadoras de vacas esféricas. Específicamente, la Tierra, la montaña y la pluma son esferas. La montaña esférica, al estar hecha de roca típica, tiene una densidad de 1125 128 π gramos/cm 3 ≈ 2.8 gramos/cm 3 . Esto hace que la montaña esférica tenga un radio de 8 km. La pluma, al estar hecha de un material ultraligero, tiene una densidad de 9 dieciséis π gramos/cm 3 ≈ 0.18 gramos/cm 3 . Esto hace que la pluma esférica tenga un radio de 2 cm.

La otra suposición es el significado de "ambos objetos lanzados a una altura de 10.000 m". Veo tres interpretaciones posibles de la altura: medida desde la superficie de la Tierra hasta la parte superior del objeto, desde la superficie de la Tierra hasta el centro del objeto, o desde la superficie de la Tierra hasta la parte inferior del objeto.

La primera interpretación (la altura se mide desde la superficie de la Tierra hasta la parte superior del objeto) no tiene ningún sentido dadas las circunstancias. Si la cima de la montaña está a 10 km por encima de la Tierra, la base de la montaña está a 6 km por debajo de la superficie. No hay raza; la montaña ya ha ganado.

La segunda interpretación (la altura se mide desde la superficie de la Tierra hasta el centro del objeto) tampoco tiene mucho sentido dadas las circunstancias. Si el centro de la montaña está a diez km sobre la Tierra, la montaña solo tiene que caer dos km antes de chocar contra la Tierra. La pluma por otro lado tiene a dos centímetros menos de diez km. Esto le da a la montaña una ventaja de ocho kilómetros. Esto ni siquiera se acerca a una carrera interesante; la montaña cae dos kilómetros de la Tierra en menos de la mitad del tiempo que tarda la pluma en caer casi diez kilómetros.

La tercera interpretación (la altura se mide desde la superficie de la Tierra hasta el fondo del objeto) es la única que hace que la carrera sea interesante. Al principio, el centro de masa de la pluma está a 10,00002 km sobre la superficie de la Tierra, mientras que el centro de masa de la montaña está a 18 km sobre la superficie de la Tierra. Esto significa que la aceleración de la pluma debido a la gravedad de la Tierra es ligeramente mayor que la de la montaña. Esto le da a la pluma una ligera ventaja sobre la montaña.

Para hacer de este un problema unidimensional, perforaremos un agujero cilíndrico de 4 cm de profundidad y 4 cm de diámetro en la montaña. La pluma esférica encajará en este agujero. Ignoraré que este agujero hace que la montaña no sea del todo esférica.

¿Quién gana?

Ahora consideremos dos razas. En el primero, colocaremos la pluma en ese pequeño bolsillo en la montaña, orientaremos la montaña para que el bolsillo mire hacia abajo y soltaremos la montaña esférica y la pluma esférica simultáneamente. El ganador es el objeto que llega primero a la superficie de la Tierra. En el segundo, soltaremos la montaña esférica y la pluma esférica por separado y cronometraremos las caídas por separado. El ganador es el objeto que tarda menos tiempo en llegar a la superficie de la Tierra.

En la primera carrera, la pluma acelera hacia abajo, hacia la Tierra, y hacia arriba, hacia la montaña. La montaña acelera hacia abajo, hacia la Tierra, y hacia abajo, hacia la pluma. La Tierra como un todo acelera hacia arriba tanto hacia la montaña como hacia la pluma. denotando h F como la altura en kilómetros de la parte inferior de la pluma esférica sobre la superficie de la Tierra, h metro como la altura en kilómetros del pie de la montaña esférica sobre la superficie de la Tierra, X como la posición en kilómetros del centro de la Tierra con respecto a su posición inicial, r como el radio de la Tierra en kilómetros, y gramo = GRAMO METRO / r 2 como la gravedad de la superficie de la Tierra, las ecuaciones diferenciales que gobiernan la primera raza son

h ¨ F = − gramo ( ( r r − X + h F + 0.00002 ) 2 − 10 − 9 ( r h metro − h F + 7.99998 ) 2 ) h ¨ metro = − gramo ( ( r r − X + h metro + 8 ) 2 + 10 − 27 ( r h metro − h F + 7.99998 ) 2 ) X ¨ = gramo ( ( 10 − 9 r r − X + h metro + 8 ) 2 + 10 − 27 ( r r − X + h F + 0.00002 ) 2 )

Integrando numéricamente, la pluma gana por unos 0,042 segundos. La explicación cualitativa es que la ligera aceleración hacia arriba de la pluma hacia la montaña no compensa la mayor aceleración hacia abajo que experimenta la pluma hacia la Tierra en comparación con la de la montaña. La aceleración de la Tierra en su conjunto hacia la montaña y la pluma es irrelevante en esta carrera.

¿Qué pasa con la segunda carrera? En este caso, la aceleración de la Tierra en su conjunto hacia la montaña bien podría ser relevante. La aceleración de la Tierra como un todo hacia la pluma sigue siendo irrelevante porque la masa de la pluma es muy pequeña. Resulta que esencialmente no hay diferencia en el tiempo. La pluma tiene que caer 10 micrómetros más que la montaña. La pluma sigue ganando por 42 centésimas de segundo.

¿Qué pasa si usamos masas puntuales?

En este caso, la primera carrera es un empate, pero la montaña gana la segunda carrera.

La fuerza que experimenta un objeto debido a la atracción de un objeto cercano es:

F = GRAMO metro 1 × metro 2 r 2
También sabemos que F = metro a . Sustituyendo la constante gravitatoria por la masa de la Tierra por otra constante: k = GRAMO × metro 1 . Tenemos:
F = metro 2 × k r 2
F metro 2 = k r 2
o
a = k r 2
Esto significa que cualquiera que sea el objeto, la aceleración depende de la constante gravitacional, la masa de la tierra y qué tan lejos está el objeto del centro de la tierra. No depende de la masa del objeto en absoluto.

@Aron La masa de la montaña es 10 − 9 veces la masa de la tierra, lo que crea un error que es demasiado pequeño para ser detectado. También puse esto debajo de la respuesta de CuriousOne. Pero estoy de acuerdo con él en que la montaña contactará primero.
Una montaña y una pluma caen desde la misma altura. ¿Cuál choca primero con la Tierra? [duplicar]
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