Una duda sobre el cálculo de vectos en base tétrada de un tensor métrico no diagonal

Question

Una duda sobre el cálculo de vectos en base tétrada de un tensor métrico no diagonal

MNRaia

En primer lugar, pediré paciencia a la comunidad porque esta es una "respuesta de cálculo explícito". Pienso que las consideraciones puramente abstractas no me ayudarán mucho.

Entonces, me gustaría algún tipo de regla paso a paso para calcular los coeficientes de tétrada. Lo explicaré (por favor considere la firma del tensor métrico como $(-,+,+,+)$ :

PARTE I

Para tensores métricos diagonales, tenemos que los vectos en base tétrada están dados por:

$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} {\hat{mi}}_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{- {gramo}_{00}}} \frac{\partial}{\partial X^{0}} \\ {\hat{mi}}_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{{gramo}_{11}}} \frac{\partial}{\partial X^{1}} \\ {\hat{mi}}_{(2)} = \frac{1}{\sqrt{{gramo}_{22}}} \frac{\partial}{\partial X^{2}} \\ {\hat{mi}}_{(3)} = \frac{1}{\sqrt{{gramo}_{33}}} \frac{\partial}{\partial X^{3}} \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{cases}\hat{\textbf{e}}_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{-g_{00}}}\frac{\partial}{\partial x^{0}}\\ \hat{\textbf{e}}_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{g_{11}}}\frac{\partial}{\partial x^{1}}\\\hat{\textbf{e}}_{(2)} = \frac{1}{\sqrt{g_{22}}}\frac{\partial}{\partial x^{2}}\\\hat{\textbf{e}}_{(3)} = \frac{1}{\sqrt{g_{33}}}\frac{\partial}{\partial x^{3}}\end{cases} \tag{1}$

Entonces, con respecto a una "forma de pensar del ingeniero", podemos decir que:

Dado un tensor métrico (diagonal), aplique las fórmulas $(1)$ , y luego recibe como salida la base de tétrada.

PARTE II

Por lo tanto, me gustaría construir una especie de algoritmo general (también conocido como algún cálculo que nos dé los resultados correctos, siempre), como en la PARTE I , pero ahora para un tensor métrico no diagonal. El tensor métrico está dado por $[1]$ :

$d s^{2} = - norte (r, θ)^{2} d t^{2} + \frac{1}{1 - \frac{b (r, θ)}{r}} d r^{2} + r^{2} k^{2} (r, θ) {d θ^{2} + s i {norte}^{2} (θ) [d ϕ - ω (r, θ) d t]^{2}}$ $ds^2 = -N(r,\theta)^2dt^2 + \frac{1}{1-\frac{b(r,\theta)}{r}}dr^2+r^2K^2(r,\theta)\Bigg\{d\theta^2+sin^2(\theta)\bigg[d\phi-\omega(r,\theta)dt\bigg]^2\Bigg\}$

Y la tétrada base del papel. $[2]$ es dado por:

$\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} {\hat{mi}}_{(0)} = \frac{1}{norte} \frac{\partial}{\partial X^{0}} + \frac{ω}{norte} \frac{\partial}{\partial X^{3}} \\ {\hat{mi}}_{(1)} = \sqrt{1 - \frac{b (r, θ)}{r}} \frac{\partial}{\partial X^{1}} \\ {\hat{mi}}_{(2)} = \frac{1}{r k} \frac{\partial}{\partial X^{2}} \\ {\hat{mi}}_{(3)} = \frac{1}{r k s i norte (θ)} \frac{\partial}{\partial X^{3}} \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{cases}\hat{\textbf{e}}_{(0)} = \frac{1}{N}\frac{\partial}{\partial x^{0}} + \frac{\omega}{N}\frac{\partial}{\partial x^{3}}\\ \hat{\textbf{e}}_{(1)} = \sqrt{1-\frac{b(r,\theta)}{r}}\frac{\partial}{\partial x^{1}} \\ \hat{\textbf{e}}_{(2)} = \frac{1}{rK}\frac{\partial}{\partial x^{2}} \\ \hat{\textbf{e}}_{(3)} = \frac{1}{rKsin(\theta)}\frac{\partial}{\partial x^{3}} \tag{2} \end{cases}$

PARTE III

Entonces mi duda comienza cuando digo que no tengo idea de como obtener los vectores en $(2)$ . Tampoco sé si es posible establecer una forma general de calcular vectores tétradas dado cualquier tipo de tensor métrico. He aplicado, en Mathematica, la función

METRO a t r i X F o r metro [F tu yo yo S i metro pag yo i F y [D i a gramo o norte a yo METRO a t r i X [mi i gramo mi norte v a yo tu mi s [metro mi t r i C]]]]

$MatrixForm[FullSimplify[DiagonalMatrix[Eigenvalues[metric]]]]$

Pero no pude ir más lejos. Entonces mi duda es:

¿Cómo puedo calcular los vectores en (2)?

Agradezco una respuesta paso a paso, como dije anteriormente, pero por favor no es obligatorio.

* * *

$* * *$

$[1]$ TEO.E. Agujeros de gusano atravesables giratorios https://arxiv.org/abs/gr-qc/9803098

$[2]$ LOBO.FSN Soluciones exóticas en relatividad general https://arxiv.org/abs/0710.4474

Javier

No existe tal cosa como la tétrada. Una tétrada es un campo de cuatro vectores ortonormales, no hay una forma única de elegirlo.

Yukterez

@Javier: es posible que no haya "la" tétrada, pero, por ejemplo, en las coordenadas de Boyer Lindquist, la tétrada de referencia es la de un ZAMO local, en Raindrop / Doran coordina la de una gota de lluvia local que cae libremente desde el infinito, en el FLRW el uno de un observador comóvil local, y así sucesivamente, creo que eso es lo que quiere decir.

Respuestas (3)

Una duda sobre el cálculo de vectos en base tétrada de un tensor métrico no diagonal

No existe tal cosa como la tétrada. Una tétrada es un campo de cuatro vectores ortonormales, no hay una forma única de elegirlo.
@Javier: es posible que no haya "la" tétrada, pero, por ejemplo, en las coordenadas de Boyer Lindquist, la tétrada de referencia es la de un ZAMO local, en Raindrop / Doran coordina la de una gota de lluvia local que cae libremente desde el infinito, en el FLRW el uno de un observador comóvil local, y así sucesivamente, creo que eso es lo que quiere decir.

Joe Schindler · Answer 1

La forma estándar de obtener una base ortonormal (tétrada) a partir de una base arbitraria linealmente independiente (por ejemplo, una base coordinada) en un espacio de producto interno (métrico) es la ortonormalización de Gram-Schmidt .

Simplemente puede realizar este procedimiento en cada punto, comenzando desde la base de coordenadas, lo que le proporciona una de las muchas tétradas ortonormales posibles. Si desea uno diferente, puede aplicar una transformación de Lorentz local.

Raian Gonçalves Westin · Answer 2

Creo que para CUALQUIER tensor métrico dado (diagonal o no), el vector que das en (1) serán los elementos de la base (también están normalizados) en los que está escrito tu tensor métrico, pero son solo linealmente independientes, pero no ortogonal necesario.

Solo serán ortogonales si el tensor métrico que se le proporciona es diagonal; de lo contrario, como en la métrica de Kerr que ha escrito, puede ver que en (1) e_0 no es ortogonal a e_3 utilizando la métrica de Kerr en el producto interno. Ahora, los vectores en (2) son solo el algoritmo de Gram Schmidt para crear una base ortonormal (2) a partir de la base no ortogonal (1).

Y ahora, si escribe la métrica de Kerr en la nueva base (2), verá que la matriz será diagonal. Una forma más fácil de ver esto es hacer la sustitución $t=Nt'-w\phi$ y ver que habrá términos cruzados entre $dt'$ y $d\phi$

Matt0410 · Answer 3

Así es como lo haría. Deja mi $g$ Sea mi tensor métrico. Con respecto a un sistema de elección de coordenadas, puedo escribir esto como

gramo = {gramo}_{m v} d X^{m} \otimes d X^{v}

$g = g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^\mu \otimes \mathrm{d}x^\nu$

como lo ha hecho en la parte II de su pregunta, donde $\mu , \nu$ son índices de coordenadas. Defina los vectores base de tétrada como

{mi}_{a} = {mi}_{a}^{m} \frac{\partial}{\partial X^{m}}, a = 0, 1, 2, 3.

$e_a = e_a^{\ \mu} \frac{\partial}{\partial x^\mu}, \quad a = 0,1,2,3.$

Por definición, la tétrada es una base ortonormal por lo que deben satisfacer $g(e_a , e_b) = \eta_{ab}$ , dónde $\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ es la métrica de Minkowksi. En términos de componentes, esta relación se lee

{mi}_{a}^{m} {mi}_{b}^{v} {gramo}_{m v} = η_{a b}

$e_a^{\ \mu} e_b^{\ \nu} g_{\mu \nu} = \eta_{ab}$

En otras palabras, la base de tétrada diagonaliza la métrica. Entonces, encontrar la base de la tétrada es equivalente a encontrar una matriz. $e_a^{\ \mu}$ que diagonaliza la matriz $g_{\mu \nu}$ ! Una vez que haya encontrado esto, puede conectar los componentes $e_a^{\ \mu}$ de vuelta a la expresión de la tétrada anterior.

Para su ejemplo, tiene una métrica de la forma

gramo = - A^{2} d t^{2} + B^{2} d r^{2} + C^{2} [d θ^{2} + D^{2} (d ϕ - mi d t)^{2}]

$g = -A^2 \mathrm{d}t^2 + B^2 \mathrm{d}r^2 + C^2 \left[ \mathrm{d}\theta^2 + D^2(\mathrm{d}\phi - E \mathrm{d}t )^2 \right]$

Los componentes $g_{\mu \nu}$ en tu caso son

{gramo}_{m v} = (\begin{matrix} - A^{2} + C^{2} D^{2} {mi}^{2} & 0 & 0 & - C^{2} D^{2} mi \\ 0 & B^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C^{2} & 0 \\ - C^{2} D^{2} mi & 0 & 0 & C^{2} D^{2} \end{matrix})

$g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} -A^2 + C^2 D^2 E^2 & 0 & 0 & -C^2D^2E \\ 0 & B^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C^2 & 0 \\ -C^2 D^2 E & 0 & 0 &C^2 D^2 \end{pmatrix}$

que está diagonalizado por

{mi}_{a}^{m} = (\begin{matrix} \frac{1}{A} & 0 & 0 & \frac{mi}{A} \\ 0 & \frac{1}{B} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{C D} \end{matrix})

$e_a^{\ \mu} = \begin{pmatrix} \frac{1}{A} & 0 & 0 & \frac{E}{A} \\ 0 & \frac{1}{B} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{CD} \end{pmatrix}$

lo que le da los componentes de sus cuatro vectores de base de tétrada en su ecuación (2).

Como los tensores métricos son tensores simétricos, siempre puedes diagonalizarlos para encontrar una tétrada y los componentes de la tétrada están dados por las filas de la matriz que la diagonaliza.

Por cierto, en general, no podrá encontrar un solo campo de tétrada que cubra todo su espacio-tiempo, de lo contrario, eso significaría que su espacio-tiempo es en realidad trivialmente Minkowski. Además, la base de la tétrada no es única y se define hasta una transformación de Lorentz, es decir, si $\{ e_a \}$ es una base de tétrada, entonces también lo es $\{ e'_a = \Lambda_a^{\ b} e_b \}$ , dónde $\Lambda$ es una transformación de Lorentz.

Impresionante pregunta. Pero, ¿cómo puedo calcular la matriz? $e^{\mu}_{a}$ ?
Para diagonalizar la métrica, debe encontrar los valores propios y los vectores propios de la métrica y realizar una transformación de similitud. Se espera que los valores propios sean $(-1,1,1,1)$ así que eso es fácil. Luego construyes la matriz. $e_a^{\ \mu}$ tomando sus cuatro vectores propios y colocándolos en una matriz, es decir, si ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ son los vectores propios de la métrica, entonces $e_a^{\ \mu} = ( v_1, v_2,v_3, v_4)$ .
Se supone que los valores propios de $g_{\mu\nu}$ son $(-1,1,1,1)$ , Cuál está mal. Como ejemplo sencillo, observe la métrica de Schwarzschild en coordenadas esféricas. De la forma diagonal podemos ver directamente que los valores propios no son $(-1,1,1,1)$ . Además, la diagonalización de una Matriz viene dada por $D = P A P^{-1}$ . La ecuación en cuestión es $\eta = e g e^T$ . Por lo tanto, esto solo puede interpretarse como un problema de valores propios si $e$ es ortonormal $(\Leftrightarrow e^T = e^{-1})$ . Mirando su solución para $e$ obviamente no es ni ortogonal ni normalizado.

Una duda sobre el cálculo de vectos en base tétrada de un tensor métrico no diagonal

MNRaia

Javier

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Tomás

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