Una covarianza de prueba simple de las ecuaciones de Maxwell

Leí que las ecuaciones de Maxwell son covariantes bajo las transformaciones de Lorentz, pero no puedo encontrar una prueba. O al menos una prueba comprensible para alguien que no sabe matemáticas superiores (por favor, no empiece a escribir jeroglíficos en notación tensorial porque no puedo entenderlos: y tenga en cuenta que debido a esa solicitud, esta pregunta no es un duplicado ) . Traté de hacer un cálculo simple para encontrar lo que sigue. Consideremos los dos sistemas estándar. S y S ′ (en movimiento hacia positivo X ) que usamos en relatividad. Supongamos en S ′ Las ecuaciones de Maxwell funcionan:

{ ∇ ′ ⋅ mi ′ = ρ ′ ε 0 ∇ ′ ⋅ B ′ = 0 ∇ ′ × mi ′ = − ∂ B ′ ∂ t ′ ∇ ′ × B ′ = m 0 j ′ + ε 0 m 0 ∂ mi ′ ∂ t ′
Entonces espero que haciendo sustituciones
mi ′ = ( mi X , γ ( mi y − v B z ) , γ ( mi z + v B y )
B ′ = ( B X , γ ( B y + v C 2 mi z ) , γ ( B z − v C 2 mi y ) )
ρ ′ = ( 1 − tu X v C 2 ) γ ρ
∂ ∂ X ′ = γ ( ∂ ∂ X + v C 2 ∂ ∂ t )
∂ ∂ y ′ = ∂ ∂ y
∂ ∂ z ′ = ∂ ∂ z
∂ ∂ t ′ = γ ( ∂ ∂ t + v ∂ ∂ X )
tu X ′ = tu X − v 1 − tu X v C 2
tu y ′ = tu y γ ( 1 − tu X v C 2 )
tu z ′ = tu z γ ( 1 − tu X v C 2 )
debería obtener
{ ∇ ⋅ mi = ρ ε 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × mi = − ∂ B ∂ t ∇ × B = m 0 j + ε 0 m 0 ∂ mi ∂ t
Pero si lo hace, verá que esto funciona solo para el componente transversal ( y y z ) de ecuaciones vectoriales (3ª y 4ª, las que tienen rotacional). Centrémonos, por ejemplo, en la ecuación de Maxwell más simple, la segunda, que en S ′ es: ∇ ′ ⋅ B ′ = 0 . Haciendo sustituciones esto se transforma en ∇ ⋅ B = 0 solo si el X componente de ∇ × mi + ∂ B ∂ t es cero A primera vista, podría decir "¿dónde está el problema? Esto funciona, debido a las ecuaciones de Maxwell 3rd". ¡El problema es que esto no está preparado! Mi hipótesis inicial donde las ecuaciones de Maxwell primadas: las ecuaciones de Maxwell no primadas son lo que estoy tratando de probar. Si de alguna manera puede probar que el componente longitudinal de la tercera ecuación de Maxwell primada se transforma correctamente en una no primada, entonces la prueba funcionaría, pero si intenta transformar ∇ ′ × mi ′ = − ∂ B ′ ∂ t ′ usted encontrará ∇ × mi = − ∂ B ∂ t solo si supones ∇ ⋅ B = 0 . En otras palabras

  • La 2da ecuación primada se convirtió en la 2da ecuación no primada solo si funciona el componente longitudinal de la 3ra ecuación no primada
  • el componente longitudinal de la tercera ecuación con prima se convirtió en el componente longitudinal de la tercera ecuación sin prima solo si la segunda ecuación sin prima funciona

Este callejón sin salida es frustrante. Haciendo cálculo puedes ver que las cosas van de manera similar con las otras dos ecuaciones

  • La 1.ª ecuación primada se convirtió en la 1.ª ecuación no primada solo si funciona el componente longitudinal de la 4.ª ecuación no primada
  • el componente longitudinal de la cuarta ecuación primada se convirtió en el componente longitudinal de la cuarta ecuación no primada solo si la primera ecuación funciona

Aún más compacto puedo escribir (aquí los números se refieren a las ecuaciones de Maxwell en el orden que usé arriba)

  • 2 ′ a 2 si 3 X
  • 3 X ′ a 3 X si 2
  • 1 ′ a 1 si 4 X
  • 4 X ′ a 4 X si 1

¡De esta manera puedes ver de un vistazo que estamos en una calle sin salida! podría agregar

  • 3 y ′ a 3 y sin problemas
  • 3 z ′ a 3 z sin problemas
  • 4 y ′ a 4 y sin problemas
  • 4 z ′ a 4 z sin problemas

¿Tal vez no tendría problemas para usar la formulación potencial de las ecuaciones de Maxwell? (no parece una dificultad prohibitiva, como el enfoque de tensor, pero no lo intenté de esta manera) De todos modos, leer Resnick "Introduzione alla relatività ristretta" me hace pensar que la formulación de campo debería ser buena para esta prueba, pero él hace cálculo explícitamente solo para el y componente de ∇ × mi = − ∂ B ∂ t , que es uno de los casos especiales en los que funciona esta demostración. No puedo creer que para probar la invariancia necesitemos un cambio en el formalismo, seguramente es posible llegar a la meta con alguna astucia que no alcanzo a ver. ¿Pero cual?

Si desea ver una prueba de esto sin notación tensorial, entonces la tiene el artículo de Einstein de 1905 sobre la relatividad especial.
¿Por qué alguien querría hacer esto sin notación covariante?
@ my2cts a) Porque esta notación es más simple y, por lo tanto, comprensible incluso para aquellos que no conocen el cálculo tensorial. b) Porque incluso los físicos, no solo los matemáticos, pueden encontrar divertido (y en algunos casos también útil) idear pruebas alternativas.

Respuestas (2)

Parece que en realidad has probado la invariancia: dado que el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell son verdaderas en un marco, son verdaderas en otro marco.

Pero eso no te gusta, porque de alguna manera quieres hacer eso independientemente para una de las ecuaciones a la vez. Eso no es posible, porque es solo el conjunto de ecuaciones de Maxwell que juntas tienen la propiedad de invariancia. Ese es el punto realmente profundo de todo esto: la ley de Coulomb, o la ley de Faraday o cualquier otra parte en sí misma es algo que depende del marco. Solo con la unificación de Maxwell (incluido el término de desplazamiento) se obtiene un conjunto unificado e invariante. Y esa invariancia requiere relatividad especial, no relatividad newtoniana.

El primer párrafo parece confundir la invariancia de forma bajo transformaciones de calibre con la invariancia de forma bajo transformaciones de Poincaire.
No entiendo el comienzo de su respuesta: no probé la invariancia (¡este es mi problema!). Tampoco entiendo el final de tu respuesta: no uso transformaciones galileanas sino las de Lorentz. Aún menos entiendo la crítica "de alguna manera quieres hacer eso de forma independiente para una de las ecuaciones a la vez". Esto es completamente incorrecto, consideré todas las ecuaciones de Maxwell juntas, es por eso que las puse en un sistema y en un intento de probar la invariancia de una traté de explotar otras (el hecho de que los componentes transversales se transformen solos es accidental).
¿Entonces, cuál es el problema? Puede mostrar que todos son invariantes siempre que sean todos invariantes. Esa es una buena prueba.
@BobJacobsen Mi problema es que proceder haciendo sustituciones y simplificando (incluso explotando otras ecuaciones) no funciona. Cuatro de las 8 ecuaciones (1,2,3x,3y,3z,4x,4y,4z) se transforman solas, y esperaba que este fuera un punto de partida para transformar otras. Pero para transformar otras en no primadas no necesitamos 3y, 3z, 4y o 4z (¡esto hubiera estado bien!) necesitamos otras ecuaciones no primadas 1, 2, 3x o 4x, pero no puedo explotarlas porque mi hipótesis de partida fueron las primadas.

Encontré una manera de resolver el problema: comencemos escribiendo explícitamente las 8 ecuaciones

{ ( a ) ∂ mi X ′ ∂ X ′ + ∂ mi y ′ ∂ y ′ + ∂ mi z ′ ∂ z ′ = ρ ′ ϵ 0 ( b ) ∂ B X ′ ∂ X ′ + ∂ B y ′ ∂ y ′ + ∂ B z ′ ∂ z ′ = 0 ( C ) ∂ mi z ′ ∂ y ′ − ∂ mi y ′ ∂ z ′ = − ∂ B X ′ ∂ t ′ ( d ) ∂ mi X ′ ∂ z ′ − ∂ mi z ′ ∂ X ′ = − ∂ B y ′ ∂ t ′ ( mi ) ∂ mi y ′ ∂ X ′ − ∂ mi X ′ ∂ y ′ = − ∂ B z ′ ∂ t ′ ( F ) ∂ B z ′ ∂ y ′ − ∂ B y ′ ∂ z ′ = m 0 j X ′ + ϵ 0 m 0 ∂ mi X ′ ∂ t ′ ( gramo ) ∂ B X ′ ∂ z ′ − ∂ B z ′ ∂ X ′ = m 0 j y ′ + ϵ 0 m 0 ∂ mi y ′ ∂ t ′ ( h ) ∂ B y ′ ∂ X ′ − ∂ B X ′ ∂ y ′ = m 0 j z ′ + ϵ 0 m 0 ∂ mi z ′ ∂ t ′
Haciendo las sustituciones de la respuesta podemos reordenar de esta manera (escribo [ A ] X para A X )
{ ( a ) ∇ ⋅ mi − ρ ϵ 0 = v [ ∇ × B − m 0 j − ϵ 0 m 0 ∂ mi ∂ t ] X ( b ) ∇ ⋅ B = − v C 2 [ ∇ × mi + ∂ B ∂ t ] X ( C ) [ ∇ × mi + ∂ B ∂ t ] X = − v ∇ ⋅ B ( d ) ∂ mi X ∂ z − ∂ mi z ∂ X = − ∂ B y ∂ t ( mi ) ∂ mi y ∂ X − ∂ mi X ∂ y = − ∂ B z ∂ t ( F ) [ ∇ × B − m 0 j − ϵ 0 m 0 ∂ mi ∂ t ] X = v C 2 ( ∇ ⋅ mi − ρ ϵ 0 ) ( gramo ) ∂ B X ∂ z − ∂ B z ∂ X = m 0 j y + ϵ 0 m 0 ∂ mi y ∂ t ( h ) ∂ B y ∂ X − ∂ B X ∂ y = m 0 j z + ϵ 0 m 0 ∂ mi z ∂ t
Vemos que (d), (e), (g) y (h) se transforman en una ecuación no primada automáticamente (es por eso que en la respuesta escribí que 3 y ′ , 3 z ′ , 4 y ′ y 4 z ′ transformar en 3 y , 3 z , 4 y y 4 z sin problemas), mientras ordenaba otras cuatro ecuaciones de manera conveniente: el problema era probar la invariancia de estas. Pero después de haber escrito el sistema de la forma anterior, la prueba es simple:

  • multiplicando (c) por − v C 2 y sumando a (b) obtenemos ∇ ⋅ B = 0 (es decir, no prima (b) del primer sistema), que con (b) da ∂ mi z ∂ y − ∂ mi y ∂ z = − ∂ B X ∂ t (es decir, no prima (c) del primer sistema)

  • multiplicando (f) por v y sumando a (a) obtenemos ∇ ⋅ mi = ρ ε 0 (es decir, no prima (a) del primer sistema), que con (a) da ∂ B z ∂ y − ∂ B y ∂ z = m 0 j X + ϵ 0 m 0 ∂ mi X ∂ t (es decir, no prima (f) del primer sistema)

La prueba ha terminado. Si hubiera encontrado esta prueba en un libro de electrodinámica, me habría ahorrado mucho tiempo. Lamento que esta prueba interesante no esté en la literatura (no todos pueden manejar tensores). El libro de Resnick muestra cómo transformar (d), pero es solo el caso más simple.

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