¿Cuál es el significado de que las ecuaciones de Maxwell sean invariantes bajo la transformación de Lorentz?

No es realmente una cuestión de grupos de simetría de ecuaciones. Un modelo simple de ondas en el agua es$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$, y esto es invariante bajo transformaciones de Lorentz con la velocidad de la luz$1$(por la misma razón$dt^2-dx^2$es invariante bajo transformaciones de Lorentz con la velocidad de la luz$1$). La invariancia de la ecuación de onda simple no tenía ningún significado para la física.

La idea, pensando como físico en el año 1900 o antes, es que la invariancia de Galileo es incorrecta o las ecuaciones de Maxwell son incorrectas.

Posibilidad uno: hay un marco de referencia privilegiado en el que se mantienen las ecuaciones de Maxwell, posiblemente complicado por un "éter luminífero" que podría ser "arrastrado" por la Tierra como un fluido. Las leyes fundamentales obedecerían a la invariancia de Galileo, pero las ecuaciones de Maxwell se mantienen en el marco en el que el "éter luminífero" está en reposo. Nadie llegó a ninguna parte ni hizo física útil con este enfoque.

Posibilidad dos: las ecuaciones de Maxwell se mantienen en todos los marcos de referencia inerciales, y la relatividad galileana es simplemente incorrecta. Esto parecía insostenible para todos menos para Einstein, porque implicaba que no puede existir la noción de simultaneidad, que el tiempo transcurre de manera diferente para diferentes observadores inerciales y todos los demás extraños fenómenos relativistas especiales. Sin embargo, ha proporcionado innumerables predicciones confirmadas experimentalmente; así es como funciona la naturaleza.

Más generalmente, ¿por qué nos gustan las transformaciones que no cambian las leyes físicas?

No es tanto eso, o al menos no lo era en ese momento.

El problema era que sabíamos que la mecánica newtoniana normal era invariante a través de la transformada de Galileo. Eso significa que los fotogramas no acelerados tienen una física similar. Sin embargo, no había ningún análogo de esto en las ecuaciones de Maxwell.

Si lanzas una pelota de A a B en un marco inercial, los resultados son los mismos si ese marco está en reposo o en movimiento. Y estamos contentos con esto, porque la persona que está lanzando la pelota y la persona que la está atrapando todavía están en reposo entre sí, lo que simplemente "tiene sentido" (aunque no siempre pensaron eso, por supuesto). Los resultados no son los mismos si lanzo la pelota entre los marcos, porque entonces hay un movimiento relativo. En ese caso, tenemos una transformación que aplicamos, las velocidades relativas de los fotogramas hacen que aparezcan términos adicionales.

Entonces, aquí está el problema: ¿qué pasa si en lugar de una pelota, lanzo algunas ondas de radio? A primera vista, podría parecer que debería aplicarse lo mismo, porque el transmisor se mueve en el mismo marco que el receptor, por lo que las ondas naturalmente tienen una relación entre sí en cualquier extremo del experimento. Pero en ese caso, naturalmente también esperaríamos que las ondas que se mueven entre fotogramas no mantuvieran su relación. Y ese es el problema...

Si esto es cierto, sería inmediatamente visible: el color de los planetas cambiaría a medida que se mueven alrededor del sistema solar, por ejemplo. Por mucho que miraran, nadie fue capaz de encontrar tal cosa. Parecía que la luz no seguía la transformada de Galileo. Todo lo contrario, cada experimento no mostró ninguna transformación, toda la luz se emitió en un único marco universal que no tenía nada que ver con la materia.

Y eso es malo. Porque también sabíamos que la luz interactuaba con los materiales ; por ejemplo, puedes iluminar una pieza de metal para calentarla. Bueno, si la luz está en un marco fijo, ¿qué pasa cuando pongo una bombilla en un carrito al lado de una hoja de metal? ¿No se calentaría más rápido o más lento dependiendo de hacia dónde lo empuje? Y si el combustible para la luz está en el carro, entonces ¿no creo energía libre si la empujo en la dirección correcta?

Eso sería malo. Como universo explotando mal.

Así que no es que a la gente "le gusten las transformaciones que no cambian las leyes físicas", es que ya teníamos una transformación . O la luz también tenía algún tipo de transformación que hizo que las cosas funcionaran de nuevo, o teníamos que tirar todo a la basura y empezar de nuevo.

Y así Lorentz. Su transformación mágicamente hace que la luz funcione en marcos galileanos, que es la razón por la que lo hizo.

Es posible que Einstein no haya desarrollado la teoría de la relatividad especial si las ecuaciones de Maxwell no son invariantes, ya que lo llevaron a creer que la noción de espacio absoluto y tiempo absoluto (todos en todas partes estarán de acuerdo en la misma medida) era incorrecta. Tenía que decidir quién tenía razón, Newton o Maxwell.

Es un problema si las leyes físicas no son invariantes, un ejemplo tonto es si enviamos una sonda espacial a Marte, Plutón o Alpha Centuri y luego descubrimos que las leyes físicas eran diferentes allí.

Además, nuestros juicios sobre las distancias astronómicas, la luminosidad de las estrellas y, básicamente, la validez de la física como una descripción precisa del universo depende de la invariancia de las leyes físicas. Podemos aprender mucho si descubrimos que las leyes están sujetas a cambios, pero no lo hemos hecho hasta la fecha.

¿Es un problema si una transformación cambia las leyes?

Sí lo es, porque las leyes deben ser invariantes para que puedan aplicarse a cualquier región del espacio-tiempo. Por eso, si estudias SR y GR, las ecuaciones que describen las leyes físicas se escriben en notación libre de coordenadas.

Las ecuaciones de Maxwell y la relatividad de Einstein no tienen ninguna relación. Existía alguna relación cuando la teoría de Maxwell era una teoría del éter y, en consecuencia, asumía que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente de luz (segundo postulado de Einstein de 1905). Hoy en día, la afirmación "las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo la transformación de Lorentz" ni siquiera es incorrecta.