¿Cuál es la velocidad promedio (a lo largo de zzz) y la posición promedio (a lo largo de zzz) de un objeto en caída libre?

Question

¿Cuál es la velocidad promedio (a lo largo de zzz) y la posición promedio (a lo largo de zzz) de un objeto en caída libre?

Fuerza cuántica

Estoy buscando calcular la velocidad promedio (a lo largo de z) y la posición promedio (a lo largo de z) de un objeto en caída libre.

El instante inicial es $t_0$ y tenemos:

$z(t=t_0)=z_0$
$v_z(t=t_0)=v_0=0$

Calculé el instante final, el instante en que el objeto toca el suelo, y encontré que:

t_{F} = \sqrt{\frac{2 z_{0}}{gramo}}

$t_f = \sqrt{ \dfrac{2 z_0}{g} }$

Para la posición promedio a lo largo $z$ Encontre eso :

< z >= \int (- \frac{1}{2} gramo t^{2} + z_{0}) d t = z_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2}{gramo}}

$<z> = \int (- \frac{1}{2} g t^2 + z_0) dt = z_0^{\frac{3}{2}} \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{2}{g}}$

Para la velocidad media a lo largo $z$ Encontre eso :

< v_{z} >= \int (- gramo t) d t = - z_{0}

$<v_z> = \int (-gt) dt = - z_0$

Ambas expresiones no son lo suficientemente homogéneas, por lo que ambas están completamente equivocadas...

Gert

Su promedio

< z >

$<z>$ es simple

\frac{z_{0} + z_{f}}{2}

$\frac{z_0+z_f}{2}$ y

< v >= \frac{v_{0} + v_{f}}{2}

$<v>=\frac{v_0+v_f}{2}$ dónde

f

$f$ significa 'final' o 'fin'. No tiene sentido desperdiciar integrales en eso.

Fuerza cuántica

@Gert: no es cierto para el promedio z, ya que z crece a medida que

t^{2}

$t^2$ . Tal vez

< z >= \frac{2}{3} z_{0}

$<z>=\frac{2}{3}z_0$ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Gert

tu integral

< z >= \int (- \frac{1}{2} g t^{2} + z_{0}) d t

$<z> = \int (- \frac{1}{2} g t^2 + z_0) dt$ solo te da

z

$z$ Tiempo después

t

$t$ , no un valor esperado. Necesitas dividir eso por el tiempo total de viaje. Similarmente,

< v_{z} >= \int (- g t) d t

$<v_z> = \int (-gt) dt$ solo te da

v

$v$ Tiempo después

t

$t$ , no una velocidad media. También es más fácil configurar

z_{0} = 0

$z_0=0$ . Las integrales también carecen de límites.

Gert

De hecho:

z (t) = z_{0} + \int_{0}^{t} (- \frac{1}{2} g t^{2}) d t

$z(t) =z_0 + \int_0^t (- \frac{1}{2} g t^2) dt$

david blanco

La pregunta OP no tiende a tener sentido. Si tiene la posición y la velocidad como funciones del tiempo, ¿por qué demonios querría destruir toda esa información preguntando cuáles son los valores promedio de estas variables?

Respuestas (1)

¿Cuál es la velocidad promedio (a lo largo de zzz) y la posición promedio (a lo largo de zzz) de un objeto en caída libre?

Su promedio $<z>$ es simple $\frac{z_0+z_f}{2}$ y $<v>=\frac{v_0+v_f}{2}$ dónde $f$ significa 'final' o 'fin'. No tiene sentido desperdiciar integrales en eso.
@Gert: no es cierto para el promedio z, ya que z crece a medida que $t^2$ . Tal vez $<z>=\frac{2}{3}z_0$ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
tu integral $<z> = \int (- \frac{1}{2} g t^2 + z_0) dt$ solo te da $z$ Tiempo después $t$ , no un valor esperado. Necesitas dividir eso por el tiempo total de viaje. Similarmente, $<v_z> = \int (-gt) dt$ solo te da $v$ Tiempo después $t$ , no una velocidad media. También es más fácil configurar $z_0=0$ . Las integrales también carecen de límites.
La pregunta OP no tiende a tener sentido. Si tiene la posición y la velocidad como funciones del tiempo, ¿por qué demonios querría destruir toda esa información preguntando cuáles son los valores promedio de estas variables?

Gert · Answer 1

Así que tenemos un $z$ eje apuntando hacia arriba y un objeto en caída libre desde $z=z_0$ a $z=0$ .

La ecuación del movimiento en caída libre es $-ma=mg$ o $a=-g$ .

$\large{a=\frac{dv}{dt}}$ .

$dv=-gdt$ e integrados obtenemos:

$v=\int_0^t(-g)dt=-gt$ .

$v=\frac{dz}{dt}$ , entonces $dz=vdt$ , $dz=-gtdt$ e integrados obtenemos:

$z=z_0-\frac{gt^2}{2}$ .

Para $z=0$ , $0=z_0-\frac{gt_f^2}{2}$ y $t_f=\sqrt{\frac{2z_0}{g}}$ .

De modo que $v_f=-g\sqrt{\frac{2z_0}{g}}=-\sqrt{2z_0g}$ .

La velocidad media en el tiempo es:

$\Large{<v>=\frac{\int_0^{t_f} vdt}{(t_f -0)}=-\frac{\sqrt{2z_0g}}{2}}$ .

La posición promedio en el tiempo es:

$<z>=\frac{\int_0^{t_f} zdt}{(t_f -0)}$ .

Con $\int_0^{t_f} zdt= \int_0^{t_f}(z_0-\frac{dt^2}{2})dt=z_0t_f-\frac{gt_f^3}{6}$ .

Dividido por $t_f$ Llegar:

$<z>=z_0-\frac{gt_f^2}{6}$ , insertar $t_f=\sqrt{\frac{2z_0}{g}}$ y volver a trabajar para obtener:

$\Large{<z>=\frac{2}{3} z_0}$ .

¿Cuál es la velocidad promedio (a lo largo de zzz) y la posición promedio (a lo largo de zzz) de un objeto en caída libre?

Fuerza cuántica

Gert

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Gert

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Gert

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