Un gran problema en el libro de mecánica estadística de Landau

Esta pregunta se refiere a: Landau; Curso de Física Teórica, Volumen 5, Física Estadística, Parte 1, Tercera edición, revisada y ampliada .

En el Capítulo IV, sección 37 el objetivo es derivar la Distribución de Boltzmann ¹ ; por lo que queremos derivar una expresión para el número medio de ocupación , de un estado$k$, para un gas perfecto que tiene un número medio de ocupación muy bajo:

El resonar relatado en el libro comienza así:

La distribución de Gibbs se ha obtenido para cuerpos que son partes relativamente pequeñas, pero al mismo tiempo macroscópicas, de grandes sistemas cerrados. La naturaleza macroscópica de estos cuerpos hizo posible considerarlos casi cerrados, es decir, despreciar hasta cierto punto su interacción con otras partes del sistema. En el caso bajo consideración, las moléculas separadas del gas están casi cerradas, aunque ciertamente no son cuerpos macroscópicos. Aplicando la fórmula de distribución de Gibbs a las moléculas de gas, podemos decir que la probabilidad de que una molécula esté en el estado k-ésimo es proporcional a$e^{\mathcal{E}_k/k_BT}$, y por lo tanto también lo es el número medio$\langle n_k \rangle$de moléculas en ese estado, es decir

$$\langle n_k \rangle = a \exp{\left[\frac{\mathcal{E}_k}{k_BT}\right]}\tag{37.2}$$

Aquí nos encontramos con el primer problema: la distribución de Gibbs nos da una probabilidad, pero ¿una probabilidad de qué? En el Capítulo III, sección 28 , donde Landau deriva la forma de la distribución de Gibbs, se establece que:

Nuestro objeto es encontrar la probabilidad$p_i$de un estado de todo el sistema tal que el cuerpo en cuestión está en algún estado cuántico definido (con energía$E_n$), es decir, un estado definido microscópicamente.

Entonces podemos decir que la probabilidad$p_i$dada por la distribución de Gibbs es la probabilidad de que un sistema se encuentre en un determinado microestado. Quiero decir: supongamos que estamos tratando con un sistema macroscópico , este sistema macroscópico está compuesto por muchos pequeños subsistemas (por ejemplo: un gas puede ser el sistema macroscópico y las partículas del gas son todos los pequeños subsistemas que componerlo), por supuesto, nuestro sistema macroscópico tiene algún estado macroscópico (tiene un volumen, una temperatura, etc.) pero también tiene un estado microscópico (toda la posición y los momentos de todas las pequeñas partículas que lo componen); bueno: en este contexto la distribución de Gibbs nos da la probabilidad que tiene el sistema macroscópico de estar en un estado de energía microscópico específico$\mathcal{E}_i$. ²

¡Ahora podemos ver que el razonamiento en la primera cita no es sólido! La distribución de Gibbs necesita un sistema macroscópico que pueda tener un estado macroscópico y otro microscópico para tener sentido, ¿qué está tomando Landau como su sistema macroscópico en la primera cita? ¿La gasolina perfecta? ¡No puede ser! De hecho la energía$\mathcal{E}_i$no es la energía de todo el microestado del gas, la energía de todas las partículas en un estado específico, sino que es la energía de un estado específico que puede asumir una sola partícula. Entonces, ¿qué está haciendo? ¿Está tomando una sola partícula como el sistema al que se aplica la distribución de Gibbs? Pero, si es así, ¡esto no tiene ningún sentido! Una sola partícula no es un sistema, no puede tener un macroestado y un microestado, la distribución de Gibbs simplemente no está definida para una sola partícula. ¡O al menos la distribución de Gibbs no está bien definida en este caso con la definición proporcionada por el propio Landau ! ¿Que esta pasando aqui? ¿Por qué Landau afirma que$\langle n_k \rangle$debe ser proporcional a$\exp{\left[\frac{\mathcal{E}_k}{k_BT}\right]}$?

Pero este no es el único problema. En el mismo Capítulo IV, artículo 37 se dice entonces que:

El coeficiente constante en (37.2) se puede expresar en términos de las cantidades termodinámicas del gas. Para ello daremos otra derivación de la fórmula , basada en la aplicación de la distribución de Gibbs al conjunto de todas las partículas del gas que se encuentran en un estado cuántico dado. Somos capaces de hacer esto (incluso si los números$n_k$no son pequeños) ya que no hay una fuerza directa de interacción entre estas partículas y el resto (o entre cualquiera de las partículas en un gas ideal), y los efectos de intercambio cuántico ocurren solo para partículas en el mismo estado. Poniendo$E = n_k\mathcal{E}_k$,$N = n_k$y añadiendo el sufijo$k$a$\Omega$en la fórmula general de la distribución de Gibbs para un número variable de partículas (35.2), encontramos la distribución de probabilidad para varios valores de$n_k$como

$$p_{n_k}=\exp{\left[\frac{\Omega _k+n_k\mu-n_k\mathcal{E}_k}{k_BT}\right]}\tag{37.4}$$

También tengo un par de problemas aquí, y sospecho firmemente que todas estas incongruencias están relacionadas de alguna manera, por eso las informé en la misma pregunta: el primer problema aquí es que (37.4) simplemente es la gran distribución canónica, ¿ verdad ? Por definición, esta fórmula debería aplicarse a un sistema macroscópico que puede tener tanto un estado macroscópico como un estado microscópico, al igual que la distribución canónica, también conocida como distribución de Gibbs. Pero de nuevo: ¿cuál es el sistema tomado en consideración por la gran distribución canónica? ¿Todo el sistema del gas perfecto? ¿Sólo las partículas en un estado? El libro de Landau no es claro.. Y también: $\Omega$si, por supuesto, el gran potencial , y por definición, el gran potencial es un potencial de un estado macroscópico de un objeto macroscópico. Podemos hablar del gran potencial de todo el gas, entonces, ¿por qué, en nombre de Gauss, tiene un índice$k$que cuenta con los estados microscopicos?? ¡La fórmula del gran potencial contiene entropía! ¡Por Dios! ¡Hablar de la entropía de un microestado no tiene sentido! ¡La entropía es una propiedad de un sistema macroscópico y se define por el número de estados microscópicos con los que el sistema macroscópico es compatible! Todo este razonamiento relatado en el libro de Landau no tiene sentido para mí, por las razones que he expuesto. ¿Qué está pasando?

[1]: Para Landau Boltzmann Distribución no es sinónimo de distribución de Gibbs, al contrario de lo que dice el artículo principal de wikipedia sobre el tema .
[2]: Un detalle importante: para que se aplique la distribución de Gibbs el sistema macroscópico debe ser un sistema canónico ; también conocido como conjunto canónico .