Un cálculo geométrico en el artículo de Fresnel "Memorias sobre la difracción de la luz" 1819

Question

Un cálculo geométrico en el artículo de Fresnel "Memorias sobre la difracción de la luz" 1819

óptica
Física
geometría
difracción
óptica-geométrica
deberes-y-ejercicios

Vagelis Kyrilas

Es un problema geométrico que encuentro difícil de resolver leyendo el artículo de Fresnel "Memoir on the difraction of Light". Según la figura Conjuntos de Fresnel $z$ como la distancia del elemento $nn'$ desde el punto $M$ ---- (Supongo $z=nM$ )-----, $a=CA$ , $b=AB$ , $IMA$ es un arco con centro $C$ , $EMF$ es un arco con centro $P$ tangencial al punto $M$ con el primer arco. Finalmente, Fresnel calcula que la distancia

norte S = \frac{z^{2} (a + b)}{2 a b} .

$nS=\frac{z^2(a+b)}{2ab}.$ (Creo que es una aproximación diciendo

n S \approx \frac{z^{2} (a + b)}{2 a b}

$nS≈\frac{z^2(a+b)}{2ab}$ )

(1) ¿Cómo encuentra ese resultado?

(2) En mi intento encuentro que $nS≈\frac{z^2}{2PM}$ , bastante cerca pero no puedo encontrar el $PM$ valor. ¿Hay alguna idea?

(3) Puede encontrar el artículo original aquí (página 119): https://archive.org/stream/wavetheoryofligh00crewrich#page/118

Respuestas (1)

Un cálculo geométrico en el artículo de Fresnel "Memorias sobre la difracción de la luz" 1819

Vagelis Kyrilas · Answer 1

Primero, tenemos que los triángulos $RAB$ y $RTC$ son similares, por lo que

T C = R C (\frac{A B}{R B}) = (a + b) (\frac{C / 2}{a}) = \frac{(a + b) C}{2 a} .

$TC=RC\,\left(\frac{AB}{RB}\right)=(a+b)\,\left(\frac{c/2}{a}\right)=\frac{(a+b)c}{2a}\,.$ Esto significa

\begin{aligned} R F & = \sqrt{F C^{2} + R C^{2}} = \sqrt{(F T + T C)^{2} + R C^{2}} = \sqrt{{(X + \frac{(a + b) C}{2 a})}^{2} + (a + b)^{2}} \\ = (a + b) \sqrt{1 + {(\frac{X}{a + b} + \frac{C}{2 a})}^{2}} \approx (a + b) (1 + \frac{1}{2} {(\frac{X}{a + b} + \frac{C}{2 a})}^{2}) \\ = a + b + \frac{X^{2}}{2 (a + b)} + \frac{C X}{2 a} + \frac{(a + b) C^{2}}{8 a^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} RF&=\sqrt{FC^2+RC^2}=\sqrt{(FT+TC)^2+RC^2}=\sqrt{\left(x+\frac{(a+b)c}{2a}\right)^2+(a+b)^2} \\ &=(a+b)\,\sqrt{1+\left(\frac{x}{a+b}+\frac{c}{2a}\right)^2}\approx(a+b)\left(1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{a+b}+\frac{c}{2a}\right)^2\right) \\ &=a+b+\frac{x^2}{2(a+b)}+\frac{cx}{2a}+\frac{(a+b)c^2}{8a^2}\,. \end{align}$ (Expandimos el cuadrado con serie binomial y recibimos la aproximación)

Próximo,

\begin{aligned} R A & = \sqrt{R B^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{C}{2})}^{2}} = a \sqrt{1 + {(\frac{C}{2 a})}^{2}} \\ \approx a (1 + \frac{1}{2} {(\frac{C}{2 a})}^{2}) = a + \frac{C^{2}}{8 a} \end{aligned}

$\begin{align} RA&=\sqrt{RB^2+AB^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2}=a\,\sqrt{1+\left(\frac{c}{2a}\right)^2} \\&\approx a\,\left(1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{c}{2a}\right)^2\right)=a+\frac{c^2}{8a} \end{align}$ y

\begin{aligned} A F & = \sqrt{A {METRO}^{2} + METRO F^{2}} = \sqrt{B C^{2} + (F C - METRO C)^{2}} = \sqrt{B C^{2} + (F C - A B)^{2}} \\ = \sqrt{b^{2} + {(X + \frac{(a + b) C}{2 a} - \frac{C}{2})}^{2}} = b \sqrt{1 + {(\frac{X}{b} + \frac{C}{2 a})}^{2}} \\ \approx b (1 + \frac{1}{2} {(\frac{X}{b} + \frac{C}{2 a})}^{2}) = b + \frac{X^{2}}{2 b} + \frac{C X}{2 a} + \frac{b C^{2}}{8 a^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} AF&=\sqrt{AM^2+MF^2}=\sqrt{BC^2+(FC-MC)^2}=\sqrt{BC^2+(FC-AB)^2} \\ &=\sqrt{b^2+\left(x+\frac{(a+b)c}{2a}-\frac{c}{2}\right)^2}=b\,\sqrt{1+\left(\frac{x}{b}+\frac{c}{2a}\right)^2} \\ &\approx b\,\left(1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{b}+\frac{c}{2a}\right)^2\right) =b+\frac{x^2}{2b}+\frac{cx}{2a}+\frac{bc^2}{8a^2}\,. \end{align}$

Finalmente, obtenemos

\begin{aligned} d & = R A + A F - R F \\ \approx (a + \frac{C^{2}}{8 a}) + (b + \frac{X^{2}}{2 b} + \frac{C X}{2 a} + \frac{b C^{2}}{8 a^{2}}) - (a + b + \frac{X^{2}}{2 (a + b)} + \frac{C X}{2 a} + \frac{(a + b) C^{2}}{8 a^{2}}) \\ = \frac{X^{2}}{2 b} - \frac{X^{2}}{2 (a + b)} = \frac{a X^{2}}{2 b (a + b)} . \end{aligned}

$\begin{align}d&=RA+AF-RF \\ &\approx\small\left(a+\frac{c^2}{8a}\right)+\left(b+\frac{x^2}{2b}+\frac{cx}{2a}+\frac{bc^2}{8a^2}\right)-\left(a+b+\frac{x^2}{2(a+b)}+\frac{cx}{2a}+\frac{(a+b)c^2}{8a^2}\right) \\ &=\frac{x^2}{2b}-\frac{x^2}{2(a+b)}=\frac{ax^2}{2b(a+b)}\,. \end{align}$

Transformamos la figura en su espejo y tomamos aproximadamente eso $z=m'A$ :

triangulos $RTC$ , $ARB$ son similares (Fig. 1). Entonces:

\frac{T C}{A B} = \frac{a + b}{a}

$\frac{TC}{AB}=\frac{a+b}{a}$

Además, los triángulos $FRC$ , $m'RB$ son similares. Entonces:

\frac{F C}{{metro}^{'} B} = \frac{a + b}{a}

$\frac{FC}{m'B}=\frac{a+b}{a}$

Esto significa que: $(x= FT)$

\frac{X}{{metro}^{'} A} = \frac{T C}{A B} = \frac{a + b}{a}

$\frac{x}{m'A}=\frac{TC}{AB}=\frac{a+b}{a}$

Con $z≈m'A$ tenemos:

\begin{matrix} (1) & \frac{X}{z} = \frac{a + b}{a} \end{matrix}

$\frac{x}{z}=\frac{a+b}{a}\tag{1}$

Hemos calculado arriba la diferencia d, como:

\begin{matrix} (2) & d = \frac{a}{2 b (a + b)} X^{2} \end{matrix}

$d=\frac{a}{2b(a+b)}x^2\tag{2}$

Combinado (1) y (2):

\begin{matrix} (3) & d = norte S = \frac{a + b}{2 a b} z^{2} \end{matrix}

$d= nS =\frac{a+b}{2ab}z^2\tag{3}$

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Vagelis Kyrilas

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