Cubrir la rendija más central de una rejilla de difracción de rendija N: ¿qué sucede?

Creo que lo he solucionado.

Sin tapar la rendija, tenemos la difracción habitual:

$$u = u_0 e^{i(kz-\omega t)} \space \frac{1- e^{iN\delta}}{1- e^{i\delta}} = u_0 e^{i(kz-\omega t)} e^{i(\frac{N}{2}\delta - \frac{\delta}{2})} \frac{\sin \left(\frac{N\delta}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\delta}{2}\right)}$$

Después de cubrir la rendija, simplemente tenemos:

$$u = u_0 \left[e^{i(kz-\omega t)} e^{i(\frac{N}{2}\delta - \frac{\delta}{2})} \frac{\sin \left(\frac{N\delta}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\delta}{2}\right)} \space - \space e^{i(\frac{N\delta}{2})}\right]$$

La intensidad está dada por$I \propto uu^*$:

$$I = I_0 \left[ \frac{\sin^2 \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)} \space -2 \cos\left(\frac{N\delta}{2}\right) \frac{\sin \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\delta}{2}\right)} + 1 \right]$$

Encontrar$I_0$, simplemente sustituya en$\delta=0$. Sabemos que la intensidad central es proporcional a$N^2$dónde$N$es el número de rendijas, por lo que esperaríamos$I_0=(N−1)^2$aquí.

Sustituyendo$\delta=0$, tenemos$I\propto (N^2−2N+1)=(N−1)^2$, por lo que está satisfecho!

Suponiendo que la onda está normalizada,

$$I = (N-1)^2 \left[ \frac{\sin^2 \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)} \space -2 \cos\left(\frac{N\delta}{2}\right) \frac{\sin \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\delta}{2}\right)} + 1 \right]$$

Los máximos todavía ocurren en$d \sin\theta=n\lambda$, con intensidad$(N−1)^2$.

Los mínimos ahora ocurren en$\frac{N\delta}{2}=\frac{n\pi}{2}$. Así que los mínimos están en$d\sin\theta= \frac{n}{N}\frac{λ}{2}$.

Comparando esto con la situación descubierta, tenemos$\delta \theta \space ' = \frac{1}{2} \delta \theta$.