¿Un agujero negro no esférico tiene una distribución de masa como un cuerpo vacío, un cuerpo sólido o un objeto puntiagudo?

Lector de advertencia: la comunidad actual que vota esta respuesta sugiere que no tiene suficientes descargos de responsabilidad sobre cómo mezclar cálculos clásicos y relativistas es una receta para decir cosas que no tienen sentido de una manera que suena erudita. Debería haber un descargo de responsabilidad después de cada oración. Ver también los comentarios. Una vez dicho esto:

Puede sondear la distribución de masa de un objeto esféricamente simétrico haciéndolo girar y midiendo su momento de inercia,$I = J/\Omega$. Una esfera clásica sólida con masa$M$y radio$R$tiene$I_\text{solid}=\frac25MR^2$, mientras que una capa esférica delgada con la misma masa y radio tiene la mayor$I_\text{shell}=\frac23MR^2$porque una mayor parte de la masa está más lejos del eje de rotación.

Un agujero negro giratorio tiene una relación no lineal entre$J$y$\Omega$. Usando esta notación ( ver también ), incluyendo el radio gravitacional$R_G = GM/c^2$, hay un parámetro$-\pi/2 \leq \Phi \leq \pi/2$que caracteriza la rotación por

$$a = \frac{J}{Mc} = R_G\cos\Phi$$

En este caso$\Phi=0$(o$a=R_G$) corresponde a un agujero negro de Kerr de rotación máxima y$|\Phi|=\pi/2$se colapsa en la caja no giratoria. El agujero negro en rotación tiene horizontes de sucesos "externos" e "internos" , con radios

$$r_\pm = R_G\cdot(1\pm\sin\Phi) = R_G \pm \sqrt{R_G^2 - a^2}$$

El radio exterior,$r_+\to2R_G$, es el radio de Schwartzchild, el tamaño del horizonte de eventos en el límite no giratorio. También hay frecuencias angulares asociadas con estos horizontes,

$$\begin{align} \Omega_\pm &= \frac{c\cos\Phi}{2r_\pm} = \frac{ca}{2R_G^2 \pm 2R_G\sqrt{R_G^2 - a^2}}, \end{align}$$

aunque interpretando$\Omega$ya que la frecuencia angular de un objeto clásico rígido plantea algunas cuestiones espinosas. La definición se puede resolver para el momento angular específico$a$:

$$\begin{align} a = \frac{J}{Mc} &= \frac\Omega{c} \frac{4R^2}{1 + (2R\Omega/c)^2} \quad(\text{both of }\Omega_\pm) \\ J &= \frac{4}{1 + (2R\Omega/c)^2}\times MR^2\Omega \end{align}$$

Esto sugiere que podría considerar un "momento de inercia"$I=J/\Omega$de

$$\begin{align} I_\text{slow} &\approx 4MR_G^2 \approx Mr_+^2 \\ I_\text{max} &= 2MR_G^2 = 2Mr_+^2 \end{align}$$

Es interesante. Cuando se encuentran momentos de inercia en la física clásica, uno siempre encuentra$I=fMR^2$por análisis dimensional, y si el radio$R$es el tamaño máximo del objeto giratorio que uno siempre encuentra$f\leq1$. Para ambos límites del momento de inercia aquí, el coeficiente es$f\gt1$, que (combinado con la suposición predeterminada de simetría esférica) sugiere que$R_G$es una subestimación del tamaño clásico de la distribución de masa giratoria. Si quisieras una esfera de masa$M$para tener el mismo momento de inercia calculado clásicamente que un agujero negro que no gira o gira lentamente con esa masa, haría una capa esférica o una esfera de densidad uniforme con un radio mayor que el radio de Schwartzchild del horizonte de eventos. (Una delgada capa hueca iría en$\sqrt6 R_G = 1.23 r_+$.) El agujero negro de rotación máxima, que tiene un horizonte de eventos exterior de tamaño$r_+=R_G$, también tiene un momento de inercia "demasiado grande".

Conclusión : Usar consideraciones clásicas de momento de inercia para analizar datos sobre$J/\Omega$ya que los agujeros negros giratorios lo llevarían a requerir que parte o la totalidad de su distribución de masa estuviera fuera de sus horizontes de eventos.

Personalmente, encuentro ese tipo de satisfacción en una forma no matemática de agitar las manos. Después de todo, ya no interactuamos con la materia que ha cruzado dentro del horizonte de eventos. Si la distribución de masa-energía de un agujero negro se encontrara realmente dentro de su horizonte de eventos, ¿no seríamos incapaces de interactuar con él? En el electromagnetismo, la energía se almacena en los campos , y el campo gravitatorio de un agujero negro ciertamente se extiende fuera de su horizonte, por lo que tal vez no sea una locura ubicar parte de la densidad de energía cerca pero fuera del horizonte de eventos. Pero esta interpretación ondulada de la mano probablemente no sobreviviría al contacto con un relativista cuidadoso.