Ubicaciones de interferencia destructiva para dos ondas esféricas

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Ubicaciones de interferencia destructiva para dos ondas esféricas

dsm

He mirado esto , pero no ayudó con las ubicaciones . Realmente esto se reduce a la manipulación matemática, que por alguna razón no puedo ver. Aquí está mi configuración parafraseada:

Considere dos fuentes de luz separadas por cierta distancia $a$ , y suponga que emiten uniformemente en todas las direcciones, con la misma frecuencia angular y el mismo número de onda. Determine las ubicaciones en un plano, que es paralelo a la línea que une las dos fuentes de luz, en el que la intensidad es mínima.

Esto es lo que tengo. Dejar $r_1$ indican la distancia desde la primera fuente hasta un punto en la pantalla, $r_2$ para la segunda fuente al punto, y $L$ Sea la distancia desde el punto medio de las cargas hasta la pantalla. Considere algún punto $p = (y,z)$ en la pantalla. Dejando que el eje x sea ortogonal a la pantalla y su origen en el punto medio, y que los ejes y y z sean paralelos a la pantalla, podemos escribir

r_{1} = \sqrt{L^{2} + y^{2} + (z - a / 2)^{2}} & r_{2} = \sqrt{L^{2} + y^{2} + (z + a / 2)^{2}}

$r_1 = \sqrt{L^2+y^2+(z-a/2)^2} \space\space\space \text{&} \space\space\space r_2 = \sqrt{L^2+y^2+(z+a/2)^2}$ A partir de esto, sabemos que podemos escribir la onda total en un punto

p

$p$ como

mi (t) = {mi}^{i w t} ({mi}_{1} {mi}^{i k r_{1}} + {mi}_{2} {mi}^{i k r_{2}})

$E(t) = e^{iwt}(E_1e^{ikr_1}+E_2e^{ikr_2})$ Todavía no estoy sustituyendo por claridad, y tenga en cuenta que

E_{1}

$E_1$ y

E_{2}

$E_2$ son las amplitudes de las ondas respectivas. Ahora también sabemos que la intensidad en este punto tiene la siguiente relación:

I \propto | E |^{2}

$I \propto |E|^2$ , y sabemos desde arriba que

| mi |^{2} = {mi}_{1}^{2} + {mi}_{2}^{2} + 2 {mi}_{1} {mi}_{2} C o s [k (\sqrt{L^{2} + y^{2} + (z - \frac{a}{2})^{2}} - \sqrt{L^{2} + y^{2} + (z + \frac{a}{2})^{2}})]

$|E|^2 = E_1^2+E_2^2+2E_1E_2cos\biggl[k\Bigl(\sqrt{L^2+y^2+(z-\frac{a}{2})^2}-\sqrt{L^2+y^2+(z+\frac{a}{2})^2}\Bigr)\biggr]$

Si las cosas son correctas hasta este punto, entonces está claro que las ubicaciones de intensidad mínima ocurren cuando este coseno es un mínimo. Es decir, cuando

\sqrt{L^{2} + y^{2} + (z - \frac{a}{2})^{2}} - \sqrt{L^{2} + y^{2} + (z + \frac{a}{2})^{2}} = \frac{(2 norte + 1) π}{k} norte \in Z

$\sqrt{L^2+y^2+(z-\frac{a}{2})^2}-\sqrt{L^2+y^2+(z+\frac{a}{2})^2} = \frac{(2n+1)\pi}{k} \space\space n \in \mathbb{Z}$

Sin embargo, parece que no puedo poner esto en una buena forma simplificada para z como una función de y. Sospecho que es una relación hiperbólica, pero ¿hay alguna forma agradable de reducir esto a una forma compacta?

Mago_nuclear

Creo que te falta un signo + en tus dos últimas expresiones, en la parte (za/2). Además, para obtener grandes paréntesis alrededor de sus grandes expresiones, puede usar \bigl( y \bigr) en lugar de ( y ).

dsm

@Nuclear_Wizard Gracias por señalarlo, olvidé cambiarlos después de copiar y pegar de la expresión anterior.

Chris Müller

Cuando logre responder su propia pregunta, debe publicarla como una respuesta a la pregunta, no editar la pregunta para incluirla. ¿Podría copiar y pegar su 'edición' en una respuesta?

dsm

@Nuclear_Wizard Gracias por informarme, actualicé el hilo en consecuencia.

dsm

@ChrisMueller El comentario anterior estaba dirigido a usted, no a Nuclear_Wizard. Gracias por hacérmelo saber.

Respuestas (2)

Ubicaciones de interferencia destructiva para dos ondas esféricas

Creo que te falta un signo + en tus dos últimas expresiones, en la parte (za/2). Además, para obtener grandes paréntesis alrededor de sus grandes expresiones, puede usar \bigl( y \bigr) en lugar de ( y ).
@Nuclear_Wizard Gracias por señalarlo, olvidé cambiarlos después de copiar y pegar de la expresión anterior.
Cuando logre responder su propia pregunta, debe publicarla como una respuesta a la pregunta, no editar la pregunta para incluirla. ¿Podría copiar y pegar su 'edición' en una respuesta?
@Nuclear_Wizard Gracias por informarme, actualicé el hilo en consecuencia.
@ChrisMueller El comentario anterior estaba dirigido a usted, no a Nuclear_Wizard. Gracias por hacérmelo saber.

dsm · Answer 1

Hice la pregunta puramente matemática aquí y recibí la respuesta más completa. Si bien pensé que habría un truco simple para ver la relación hiperbólica, parece que solo tienes que pasar por el álgebra tediosa para que aparezca. El usuario JJacquelin encontró que se puede reorganizar a la forma

\frac{z^{2}}{(\frac{(2 norte + 1) π}{k})^{2}} - \frac{y^{2}}{L^{2} - (\frac{(2 norte + 1) π}{k})^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{a^{2}}{L^{2} - (\frac{(2 norte + 1) π}{k})^{2}}

$\frac{z^2}{(\frac{(2n+1)\pi}{k})^2}-\frac{y^2}{L^2-(\frac{(2n+1)\pi}{k})^2}=\frac{1}{4}+\frac{a^2}{L^2-(\frac{(2n+1)\pi}{k})^2}$ Para mostrar cómo se ve esto, configuré

L = 20 cm

$L = 20 \space \text{cm}$ ,

a = 2 cm

$a= 2 \space \text{cm}$ , y una fuente de luz infrarroja de

λ = 1000 nm

$\lambda = 1000 \space \text{nm}$ . Trazar una cantidad modesta de estos produjo la siguiente imagen: ingrese la descripción de la imagen aquí

Chris Müller · Answer 2

Mathematica da

z = γ \frac{\sqrt{γ^{2} - a^{2} - 4 (y^{2} + L^{2})}}{2 \sqrt{γ^{2} - a^{2}}},

$z=\gamma\frac{\sqrt{\gamma^2-a^2-4(y^2+L^2)}}{2\sqrt{\gamma^2-a^2}},$ dónde

γ = \frac{(2 norte + 1) π}{k} .

$\gamma=\frac{(2n+1)\pi}{k}.$

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Mago_nuclear

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