Anillos de Newton: ¿Qué causa los otros anillos?

Esta es una manifestación de "Aliasing de frecuencia" que aparece en muchas situaciones en las que tiene datos que se muestrean en intervalos discretos. Para obtener una explicación más detallada del aliasing en general, debe buscar referencias sobre el teorema de muestreo de Shannon-Nyquist . En resumen, sin embargo, es suficiente explicar que cuando los datos se muestrean a una determinada resolución, lo que se denomina período de muestreo$T_s$, entonces cualquier componente de la señal con una frecuencia superior$\frac{1}{2T_s}$(esto se llama la frecuencia de Nyquist) serán "alias", lo que significa que parecerán tener una frecuencia de$\frac{1}{T_s}-f$dónde$f$es la frecuencia del componente de la señal en cuestión. En este caso, el período de muestreo$T_s$es el espaciado de los píxeles en la cámara.

Como puede ver en los anillos centrales sin solapamiento, la frecuencia de los anillos aumenta radialmente. Esta es una frecuencia espacial, a diferencia de la frecuencia temporal a la que la gente está más acostumbrada, pero las matemáticas son las mismas. A medida que aumenta la frecuencia del anillo, cruza la frecuencia de Nyquist de la cámara y verá que el patrón se repite a medida que los componentes de frecuencia que lo componen se solapan por debajo de la frecuencia de Nyquist de la cámara.

De hecho, es bastante sencillo calcular dónde aparecerán los anillos secundarios (si me permite pasar por alto algunos de los detalles). La superficie esférica de la lente se puede aproximar como una superficie parabólica

$$y \propto r^2$$ dónde $y$es la altura de la superficie desde la placa de referencia, y $r$es la distancia radial desde el centro de los anillos primarios. La frecuencia de los anillos está relacionada con la pendiente de la superficie, que en este caso es claramente lineal en $r$, por lo que sin molestarnos en calcular ningún factor constante, podemos definir $$f =Ar$$ dónde $f$es la frecuencia del anillo y $A$es una constante con unidades de $\frac{1}{\mbox{length}^2}$o $\frac{\mbox{frequency}}{\mbox{length}}$.

Ahora, podríamos hacer algunas transformadas de Fourier y derivar la forma exacta de la imagen del anillo con alias, pero eso es un poco más$\LaTeX$de lo que tengo ganas de escribir, y sospecho que está un poco más allá del alcance de la pregunta. En cambio, solo calcularé la ubicación de los centros de los patrones de anillo con alias. Entonces, ¿dónde están los centros de los patrones de los anillos? Son los lugares donde la frecuencia de anillo aparente es cero. Esto es trivial para el patrón central, por supuesto. Ahora, ¿dónde estará el primer conjunto de anillos con alias? Queremos establecer la frecuencia con alias en cero y resolver para$r$; asi que

$$\begin{array}{lcr} \frac{1}{T_s}-f = 0 &\mbox{and} &f=Ar\\ \frac{1}{T_s}-Ar = 0&\\ r=\frac{1}{AT_s}& \mbox{or} & r=\frac{2f_n}{A} \end{array}$$

Calculando el valor de$A$es un poco innecesario para esta explicación, así que simplemente diré que dependerá de la longitud de onda de la luz y el radio de curvatura de la lente que estés usando. La expresión resultante brinda una descripción simple de dónde aparecerán los anillos y podría servir como una guía para qué lentes podría medir su microscopio sin aliasing (es decir, cuándo el aliasing no aparecerá hasta$r$es más grande que su campo de visión). Claramente, a medida que crece el espacio entre píxeles de la cámara, el alias se convierte en un problema mayor, ya que se produce cada vez más cerca de los anillos centrales; y a medida que aumenta el radio de curvatura de la lente (a medida que la lente se vuelve menos curvada), el alias se vuelve menos problemático.

También es interesante que la posición radial de los anillos en la dirección diagonal es mayor. Esto parecería contrario a la intuición dada la expresión derivada anteriormente, pero tenga en cuenta que la explicación que he dado está muy simplificada. Si se esfuerza por derivar un resultado más general utilizando la transformada de Fourier, los anillos diagonales se describirán correctamente.

Los efectos de color se deben al filtro Bayer de la cámara. Este filtro es lo que permite que la cámara capture imágenes en color, pero también tiene el efecto de brindar una tasa de muestreo ligeramente diferente para cada uno de los diferentes colores. Esto significa que el patrón de alias tendrá algunos efectos de color, pero esto no es "real", en el sentido de que es solo un efecto de la propia cámara. Los efectos de color de Bayer también se pueden ver en otras situaciones, incluidas situaciones que se describen más comúnmente como efectos Moiré que aliasing. Por ejemplo:

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Los efectos muaré y aliasing están, por supuesto, estrechamente relacionados y, en cierto sentido, son lo mismo; pero el alias de frecuencia es un concepto muy general que se aplica a cualquier tipo de datos muestreados, mientras que el efecto Moiré es generalmente el nombre que se le da a los patrones resultantes de la superposición de patrones periódicos, en lugar del muestreo específico.

Está observando un patrón de Aliasing de Moiré (gracias a Colin K por la corrección). Esto significa que la resolución óptica de su microscopio USB es buena y que el sensor de imagen no tiene filtro antisolapamiento. Cuando los detalles de la imagen son más pequeños que el tamaño de píxel, aparecerán dichos patrones. Y estarán coloreados porque en los sensores de color cada píxel solo es sensible a un color.

Por ejemplo, tomé la imagen de Wikipedia de los anillos de Newton y la reduje por el método del vecino más cercano para obtener una imagen muy similar a la tuya:

Los patrones adicionales no son parte del experimento del anillo de Newton 'ideal'. La simetría de cuadrícula de los espacios de los anillos sugiere que no se debe a la lente real (suponiendo que sea convexa), que debería ser radialmente simétrica.

Supongo que los anillos adicionales se deben a que la fuente de luz es un grupo de LED, o tal vez a la naturaleza de la lente del microscopio, o posiblemente a un artefacto del CCD ...

Solo para agregar un giro adicional a las muy buenas respuestas de Colin K y gigacyan.

De hecho, he estado en situaciones en las que esos patrones exactos eran reales. Solía ​​​​diseñar microlentes en escala de grises (fabricados con máscaras computarizadas) donde la resolución finita del diseño (impulsada por la resolución de los píxeles litográficos en escala de grises) en realidad causaba esos cuatro patrones adicionales en la lente real. Al principio culpé a la resolución finita de nuestro interferómetro de luz blanca como la razón del aliasing. Pero cambiar la resolución dejó las posiciones de los patrones sin cambios.

Esto no cambia las respuestas dadas anteriormente. En cualquier caso, el alias resulta de una resolución espacial finita, uniforme y estrictamente cartesiana, y puede compensarse mediante varios métodos de ventana/suavizado/difuminado.