¿Cómo calcular la intensidad de la interferencia de dos ondas en un punto dado? [cerrado]

Question

¿Cómo calcular la intensidad de la interferencia de dos ondas en un punto dado? [cerrado]

ondas
Física
interferencia

Oriol

Hay dos fuentes puntuales diferentes que producen ondas esféricas con la misma potencia, amplitud, ω, número de onda y fase.

Puedo calcular la intensidad de cada onda en un punto:

I_{1} = PAG / (4 π r_{1}^{2})

$I_1 = P / (4 \pi r_1^2)$

I_{2} = PAG / (4 π r_{2}^{2})

$I_2 = P / (4 \pi r_2^2)$ Pero, ¿cómo puedo calcular la intensidad de la onda resultante en ese punto?

Miguel

¿Están las fuentes en el mismo punto o separadas? ¿Dónde estás tratando de encontrar la intensidad?

Oriol

@MichaelBrown Las fuentes están separadas. Y quiero encontrar la intensidad en un punto donde hay interferencia constructiva (pero también tengo curiosidad por encontrar la intensidad en un punto aleatorio)

Miguel

Bueno, entonces solo necesitas sumar las dos amplitudes y elevarlas al cuadrado. Es importante que agregues las amplitudes, no las intensidades. La fórmula para las ondas esféricas se puede encontrar aquí en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#Spherical_waves

Oriol

@MichaelBrown ¿Por qué? no entiendo articulo de wikipedia

Miguel

Las ondas se suman por sus amplitudes, no por sus intensidades. De lo contrario no habría interferencia. La amplitud de una onda esférica general se da en el artículo. Para una onda pura (frecuencia única) se puede escribir

A \cos (k r - ω t) / r

$A \cos(k r - \omega t)/r$ dónde

k

$k$ es el número de onda,

r

$r$ es la distancia desde la fuente,

ω

$\omega$ es la frecuencia,

t

$t$ es el tiempo y

A

$A$ es la escala general de la amplitud (alto o bajo, etc.). Tienes una de estas expresiones para cada fuente y debes sumarlas. Esto da la amplitud en cualquier punto del espacio. Lo elevas al cuadrado para obtener la intensidad.

Respuestas (1)

¿Cómo calcular la intensidad de la interferencia de dos ondas en un punto dado? [cerrado]

¿Están las fuentes en el mismo punto o separadas? ¿Dónde estás tratando de encontrar la intensidad?
@MichaelBrown Las fuentes están separadas. Y quiero encontrar la intensidad en un punto donde hay interferencia constructiva (pero también tengo curiosidad por encontrar la intensidad en un punto aleatorio)
Bueno, entonces solo necesitas sumar las dos amplitudes y elevarlas al cuadrado. Es importante que agregues las amplitudes, no las intensidades. La fórmula para las ondas esféricas se puede encontrar aquí en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#Spherical_waves
Las ondas se suman por sus amplitudes, no por sus intensidades. De lo contrario no habría interferencia. La amplitud de una onda esférica general se da en el artículo. Para una onda pura (frecuencia única) se puede escribir $A \cos(k r - \omega t)/r$ dónde $k$ es el número de onda, $r$ es la distancia desde la fuente, $\omega$ es la frecuencia, $t$ es el tiempo y $A$ es la escala general de la amplitud (alto o bajo, etc.). Tienes una de estas expresiones para cada fuente y debes sumarlas. Esto da la amplitud en cualquier punto del espacio. Lo elevas al cuadrado para obtener la intensidad.

Oriol · Answer 1

Encontré la solución, pero olvidé agregarla aquí. Pero dado que un número considerable de personas ha visto la pregunta, la respuesta podría ser útil.

Notación

$r_1$ : distancia entre el punto dado y el foco 1.
$r_2$ : distancia entre el punto dado y el foco 2.
$A_1$ : amplitud en el punto dado de la onda generada por el foco 1.
$A_2$ : amplitud en el punto dado de la onda generada por el foco 2.
$A_r$ : amplitud en el punto dado de la onda resultante.
$I_1$ : intensidad en el punto dado de la onda generada por el foco 1.
$I_2$ : intensidad en el punto dado de la onda generada por el foco 2.
$I_r$ : intensidad en el punto dado de la onda resultante.
$P$ : potencia de las ondas iniciales.
$\varphi$ : diferencia de fase entre las ondas iniciales en el punto dado.
$k$ : número de onda de las ondas inicial y resultante.
$\omega$ : frecuencia angular de las ondas inicial y resultante.
$v$ : velocidad de las ondas inicial y resultante.

Prefacio

voy a usar la formula

I = \frac{1}{2} ρ v ω^{2} A^{2}

$I = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 A^2$

La onda resultante será una onda de amplitud $A_r$ con el mismo $k$ y $\omega$ que las ondas iniciales. Además, $\rho$ y $v$ también serán los mismos porque solo dependen del medio ambiente.

Entonces,

{\begin{cases} I_{r} = \frac{1}{2} ρ v ω^{2} A_{r}^{2} \\ I_{2} = \frac{1}{2} ρ v ω^{2} A_{2}^{2} \end{cases} ⟹ I_{r} = I_{2} {(\frac{A_{r}}{A_{2}})}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{r}}{A_{2}})}^{2}

$\begin{cases} I_r = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 A_r^2 \\ I_2 = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 A_2^2 \\ \end{cases} \implies I_r = I_2 \left(\frac{A_r}{A_2}\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_r}{A_2}\right)^2$

Para poder expresar $I_r$ en términos de $r_1$ y $r_2$ en lugar de $A_1$ y $A_2$ , usaré que la amplitud de una onda esférica es inversamente proporcional a la distancia al foco. Eso es:

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{r_2}{r_1}$

Respuesta

En un punto con interferencia destructiva ( $\varphi = \pi$ )

La amplitud resultante será la diferencia de amplitudes:

A_{r} = | A_{1} - A_{2} |

$A_r = |A_1 - A_2|$

Entonces, la intensidad resultante es

I_{r} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{r}}{A_{2}})}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{1} - A_{2}}{A_{2}})}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{1}}{A_{2}} - 1)}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{r_{2}}{r_{1}} - 1)}^{2} = \frac{PAG}{4 π} {(\frac{r_{2} - r_{1}}{r_{1} r_{2}})}^{2}

$I_r = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_r}{A_2}\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_1 - A_2}{A_2}\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_1}{A_2}-1\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{r_2}{r_1}-1\right)^2 = \frac{P}{4\pi} \left(\frac{r_2-r_1}{r_1 r_2}\right)^2$

En un punto con interferencia constructiva ( $\varphi = 0$ )

La amplitud resultante será la suma de las amplitudes:

A_{r} = A_{1} + A_{2}

$A_r = A_1 + A_2$

Entonces, la intensidad resultante es

I_{r} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{r}}{A_{2}})}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{1} + A_{2}}{A_{2}})}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{1}}{A_{2}} + 1)}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{r_{2}}{r_{1}} + 1)}^{2} = \frac{PAG}{4 π} {(\frac{r_{1} + r_{2}}{r_{1} r_{2}})}^{2}

$I_r = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_r}{A_2}\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_1 + A_2}{A_2}\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_1}{A_2}+1\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{r_2}{r_1}+1\right)^2 = \frac{P}{4\pi} \left(\frac{r_1+r_2}{r_1 r_2}\right)^2$

En general

La amplitud resultante será ( $\varphi$ es la diferencia de fase):

A_{r} = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} porque φ}

$A_r = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos{\varphi}}$

Entonces, la intensidad resultante es

I_{r} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} {(\frac{A_{r}}{A_{2}})}^{2} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} \frac{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} porque φ}{A_{2}^{2}} = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} ({(\frac{A_{1}}{A_{2}})}^{2} + 1 + 2 \frac{A_{1}}{A_{2}} porque φ) = \frac{PAG}{4 π r_{2}^{2}} ({(\frac{r_{2}}{r_{1}})}^{2} + 1 + 2 \frac{r_{2}}{r_{1}} porque φ) = \frac{PAG}{4 π} \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} porque φ}{(r_{1} r_{2})^{2}}

$I_r = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\frac{A_r}{A_2}\right)^2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} \frac{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos{\varphi}}{A_2^2} = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 + 1 + 2 \frac{A_1}{A_2} \cos{\varphi}\right) = \frac{P}{4\pi r_2^2} \left(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 + 1 + 2 \frac{r_2}{r_1} \cos{\varphi}\right) = \frac{P}{4\pi} \frac{r_1^2 + r_2^2 + 2 r_1 r_2 \cos{\varphi}}{(r_1 r_2)^2}$

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Oriol

Miguel

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Respuestas (1)

Oriol

Notación

Prefacio

Respuesta

En un punto con interferencia destructiva ( $\varphi = \pi$ )

En un punto con interferencia constructiva ( $\varphi = 0$ )

En general

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Oriol

Miguel

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Oriol

Notación

Prefacio

Respuesta

En un punto con interferencia destructiva (φ = π φ = π \varphi = \pi)

En un punto con interferencia constructiva (ϕ = 0 φ = 0 \varphi = 0)

En general

En un punto con interferencia destructiva ( $\varphi = \pi$ )

En un punto con interferencia constructiva ( $\varphi = 0$ )