Experimento de "doble doble rendija" de Young

Question

Experimento de "doble doble rendija" de Young

óptica
Física
interferencia
experimento de doble rendija
deberes-y-ejercicios

Aspirante

La configuración se muestra en la imagen de arriba. Encuentre la intensidad en la pantalla como una función de $y$ , y $I_0$ , dónde $I_0$ es la intensidad de los máximos centrales.

Reconozco que el incidente del frente de onda plano en el primer par de rendijas da como resultado dos frentes de onda cilíndricos, que interfieren en el segundo par de rendijas. Después de esto, estoy un poco perdido. ¿Se establecen dos frentes de onda cilíndricos más, con cualquier amplitud y fase que cause la primera interferencia? ¿Cómo se haría para encontrar la intensidad?

Además, ¿qué se entiende por "máximos centrales"? Si se configuran dos frentes de onda cilíndricos en el segundo par de rendijas, no veo por qué necesariamente debería haber un máximo en el centro. ¿El término simplemente se refiere a un punto donde la diferencia de fase es cero?

Por ejemplo, si un frente de onda plano no incide normalmente en un par de rendijas, y eso da como resultado que no haya máximos presentes en el eje de simetría, ¿llamaríamos al punto con diferencia de fase cero el máximo central, o diríamos que el maximo central no existe?

La respuesta para el problema es

I_{0} {porque}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{d_{1} d_{2}}{D_{1}}) {porque}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{d_{2} y}{D_{2}})

$I_0\cos^2\left(\frac{2\pi }{\lambda}\frac{d_1d_2}{D_1}\right)\cos^2\left(\frac{2\pi }{\lambda }\frac{d_2 y}{D_2}\right)$

Kksen

¿Puedes dar una referencia de dónde sacaste esta pregunta, especialmente la respuesta?

Aspirante

@KamKahSen Es de Pathfinder, un libro de olimpiadas de física de la India.

Respuestas (1)

Experimento de "doble doble rendija" de Young

¿Puedes dar una referencia de dónde sacaste esta pregunta, especialmente la respuesta?
@KamKahSen Es de Pathfinder, un libro de olimpiadas de física de la India.

usuario200143 · Answer 1

Hay varias suposiciones y aproximaciones hechas que probablemente estén establecidas en el texto antes de que se asignó el problema. Las rendijas se aproximan como fuentes de ondas salientes de la misma longitud de onda con una magnitud independiente de la dirección de las ondas entrantes o salientes. En ese caso, tomando la línea punteada como $y=0$ , y $y$ como la posición de la medición en la pantalla de la derecha, hay cuatro caminos posibles que la luz puede recorrer para llegar a la pantalla. Estos son

rendija superior izquierda a rendija superior derecha a pantalla con longitud de ruta $\ell_1+\ell_3$ ,
rendija superior izquierda a rendija inferior derecha a pantalla con longitud de ruta $\ell_2+\ell_4$ ,
rendija inferior izquierda a rendija superior derecha a pantalla con longitud de ruta $\ell_2+\ell_3$ ,
rendija inferior izquierda a rendija inferior derecha a pantalla con longitud de ruta $\ell_1+\ell_4$ ,

de donde la geometría

\begin{array}{rcl} ℓ_{1} & = & \sqrt{\frac{(d_{2} - d_{1})^{2}}{4} + D_{1}^{2}} \\ ℓ_{2} & = & \sqrt{\frac{(d_{2} + d_{1})^{2}}{4} + D_{1}^{2}} \\ ℓ_{3} & = & \sqrt{\frac{(d_{2} - 2 y)^{2}}{4} + D_{1}^{2}} \\ ℓ_{4} & = & \sqrt{\frac{(d_{2} + 2 y)^{2}}{4} + D_{1}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \ell_1 &=& \sqrt{\frac{(d_2-d_1)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_2 &=& \sqrt{\frac{(d_2+d_1)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_3 &=& \sqrt{\frac{(d_2-2y)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_4 &=& \sqrt{\frac{(d_2+2y)^2}{4}+D_1^2} \,. \end{eqnarray}$ La amplitud en la pantalla es entonces proporcional a

A \propto {mi}^{i \frac{2 π}{λ} (ℓ_{1} + ℓ_{3})} + {mi}^{i \frac{2 π}{λ} (ℓ_{2} + ℓ_{4})} + {mi}^{i \frac{2 π}{λ} (ℓ_{2} + ℓ_{3})} + {mi}^{i \frac{2 π}{λ} (ℓ_{1} + ℓ_{4})}

$\begin{equation} A \propto e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_1+\ell_3)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_2+\ell_4)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_2+\ell_3)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_1+\ell_4)} \end{equation}$ y la intensidad es la magnitud de la amplitud al cuadrado

I = | A |^{2} \propto {porque}^{2} \frac{2 π}{λ} \frac{ℓ_{2} - ℓ_{1}}{2} {porque}^{2} \frac{2 π}{λ} \frac{ℓ_{3} - ℓ_{4}}{2} .

$\begin{equation} I = |A|^2 \propto \cos^2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\ell_2-\ell_1}{2} \cos^2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\ell_3-\ell_4}{2} \,. \end{equation}$

Para que las aproximaciones de las rendijas anteriores sean válidas, el espacio entre las rendijas debe ser pequeño en comparación con las separaciones. Entonces $D_1,D_2 \gg d_1,d_2$ , y expandiendo la raíz cuadrada

\begin{array}{rcl} ℓ_{1} = D_{1} + \frac{(d_{2} - d_{1})^{2}}{8 D_{1}} + . . . \\ ℓ_{2} = D_{1} + \frac{(d_{2} + d_{1})^{2}}{8 D_{1}} + . . . \\ ℓ_{3} = D_{2} + \frac{(d_{2} - 2 y)^{2}}{8 D_{2}} + . . . \\ ℓ_{4} = D_{2} + \frac{(d_{2} + 2 y)^{2}}{8 D_{2}} + . . . \end{array}

$\begin{eqnarray} \ell_1 = D_1+\frac{(d_2-d_1)^2}{8D_1}+... \nonumber\\ \ell_2 = D_1+\frac{(d_2+d_1)^2}{8D_1}+... \nonumber\\ \ell_3 = D_2+\frac{(d_2-2y)^2}{8D_2}+... \nonumber\\ \ell_4 = D_2+\frac{(d_2+2y)^2}{8D_2}+... \end{eqnarray}$ de modo que

\begin{array}{rcl} \frac{ℓ_{2} - ℓ_{1}}{2} = \frac{d_{2} d_{1}}{4 D_{1}} + . . . \\ \frac{ℓ_{3} - ℓ_{4}}{2} = \frac{d_{2} y}{2 D_{2}} + . . . \end{array}

$\begin{eqnarray} \frac{\ell_2-\ell_1}{2} = \frac{d_2d_1}{4D_1} +... \nonumber\\ \frac{\ell_3-\ell_4}{2} = \frac{d_2y}{2D_2} +... \end{eqnarray}$ Esto da

I \propto {porque}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{d_{1} d_{2}}{4 D_{1}}) {porque}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{d_{2} y}{2 D_{2}})

$\begin{equation} I \propto \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_1d_2}{4D_1}\right) \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_2y}{2D_2}\right) \end{equation}$ El máximo está en

y = 0

$y=0$ , que normalmente es lo que se denomina máximo central. llamando a esto

I_{0}

$I_0$ , el resultado es

I = I_{0} {porque}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{d_{2} y}{2 D_{2}}) .

$\begin{equation} I = I_0 \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_2y}{2D_2}\right) \,. \end{equation}$ Es posible que haya cometido un factor de 2 errores, y soy demasiado perezoso para verificar, pero aún así me parece que la respuesta que das es un error y no debería incluir la primera

\cos^{2}

$\cos^2$ término

Tal vez tengamos dos $\cos^2$ términos si asumimos que el máximo central es $y=0$ en el primer par de rendijas? Además, ¿podría verificar su funcionamiento? Los errores en este libro son muy raros.
Sí, podemos obtener ese término si es la situación que mencionó. Acabo de descargar el libro y lo revisé, el máximo central se refiere a eso en la primera pantalla.
Mi breve cálculo es el mismo con user2000143 básicamente. No estoy seguro de qué salió mal.
@KamKahSen El libro es bien conocido por sus problemas poco intuitivos y no estándar. Tal vez nos estamos perdiendo algo.
Sí, hay muchas posibilidades de que sea así, gracias por recordárnoslo.

Experimento de "doble doble rendija" de Young

Aspirante

Kksen

Aspirante

Respuestas (1)

usuario200143

Aspirante

Kksen

Kksen

Aspirante

Kksen

Cubrir la rendija más central de una rejilla de difracción de rendija N: ¿qué sucede?

¿La fórmula para encontrar la distancia entre dos rendijas es correcta en mis libros?

¿Cómo se relaciona el ancho de una rendija con la intensidad de la luz que pasa a través de ella?

Intensidad de doble rendija de Young

¿Por qué siempre hay una franja brillante en el ángulo cero en el experimento de la doble rendija de la luz?

¿Por qué un experimento de doble rendija con ondas de sonido nunca da como resultado una interferencia destructiva completa?

Pantalla inclinada en el experimento de doble rendija de Young

Patrón de difracción sin rendija

Problema de la doble rendija de Young de física

¿Cuál es el razonamiento intuitivo detrás de un factor de 4 en la ecuación de intensidad de doble rendija de Fraunhofer?