Truco de periodicidad para Kerr Black Holes

Estoy un poco confundido con respecto a la sección euclidiana de un agujero negro de Kerr. En la página 5 del siguiente documento https://arxiv.org/abs/hep-th/9908022 se dice que para obtener la sección euclidiana, debemos establecer$t \to i \tau$y$a \to i a$. (Consideran los agujeros negros generales de Kerr-Newman-AdS, pero yo simplemente estoy interesado en Kerr asintóticamente plano). Esto tiene sentido porque queremos mantener el$dt \otimes d\phi$componentes de la métrica euclidiana real. Lo que me confunde es que si hacemos el análisis de las singularidades cónicas como mencionan, obtendremos la siguiente periodicidad para$\tau$y$\phi$

$$\begin{equation} \tau \sim \tau +\beta \end{equation}$$ $$\begin{equation} \phi\ \sim \phi+i\beta\Omega_H \end{equation}$$ con$\beta$la temperatura inversa y$\Omega_H$la velocidad angular del horizonte de sucesos, a saber $$\begin{equation} \Omega_H=\frac{a}{r_{+}^2+a^2} \end{equation}$$ dónde$r_{+}$es el horizonte de sucesos y$a$es el parámetro de rotación del agujero negro. Lo que me extraña es que si tomamos$a \to 0$en coordenadas de Boyer-Lindquist, obtenemos que $$\begin{equation} \phi \sim \phi \end{equation}$$ porque$\Omega_H$desaparece Esto se convierte en una identificación trivial y no nos dice nada sobre la periodicidad de la$\phi$coordinar. Sin embargo, también sabemos que si tomamos la$a \to 0$límite, obtenemos el agujero negro de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild. En Schwarzschild Euclidean, deberíamos tomar el$\phi$coordenada para tener periodo $$\begin{equation} \phi \sim \phi+2\pi \end{equation}$$ y aunque el Boyer-Lindquist$\phi$es diferente a la$\phi$en Schwarzschild, coinciden en el límite que estoy considerando$a \to 0$. ¿Qué implica esto? ¿Significa esto que a pesar de que Kerr va a Schwarzschild en el límite$a \to 0$como geometría lorentziana, sus secciones euclidianas no están conectadas continuamente de alguna manera?

Edit1: También tengo la idea de que en lorentzian Kerr, el$\phi$coordenada tiene periodicidad$2\pi$. Cuando vamos a Euclidiana, parece que obtenemos esta otra periodicidad: pero ¿no debería la periodicidad de$2\pi$se conserva tambien? Al menos eso es lo que sucede en Schwarzschild. asi tendriamos los dos

$$\begin{equation} \phi\ \sim \phi+i\beta\Omega_H \end{equation}$$ $$\begin{equation} \phi\ \sim \phi + 2\pi \end{equation}$$ También me confunde que estas manipulaciones generalmente se realizan en función de los sistemas de coordenadas y, por lo tanto, es más difícil tener una noción de lo que significa 'euclidianizar' de una manera invariante de coordenadas. Si alguien tiene una forma invariante de coordenadas para hablar sobre esta continuación analítica, me gustaría escucharla.

Edit2: Si vemos cuál es realmente la expresión en la identificación de$\phi$, obtenemos

$$\begin{equation} i\beta \Omega_H=i4\pi \frac{r_{+}a}{r_{+}^2\left(1-\frac{a^2}{r_{+}^2}\right)} \end{equation}$$ Haciendo la continuación analítica$a \to ia$, tenemos $$\begin{equation} i\beta \Omega_H=-4\pi \frac{r_{+}a}{r_{+}^2\left(1+\frac{a^2}{r_{+}^2}\right)} \end{equation}$$ vemos que siempre es menos entonces$2\pi$porque $$\begin{equation} r_{+}=a+\sqrt{2}a \end{equation}$$ define la extremalidad asumiendo el hecho de que establecemos$a \to ia$. Así que parece hacer que el$\phi$dirección más pequeña en general. Pero si trato de calcular la acción en el shell $$\begin{equation} I=\int_{\partial \mathcal{M}}K-K_0 \end{equation}$$ tengo que integrarme desde$0$a$2\pi$a lo largo de$\phi$para obtener el resultado correcto mencionado en https://doi.org/10.1103/PhysRevD.15.2752 porque dado que estamos enviando el límite al infinito, solo el orden principal de$1/r$asuntos que es lo mismo que en Schwarzschild. Así que estoy confundido sobre qué tipo de geometría tenemos a lo largo$\phi$.