Tratando de vincular las perturbaciones eulerianas y lagrangianas

Estoy tratando de dar sentido al vínculo entre una perturbación Euleriana (lineal) (es decir, en un punto dado) y Lagrangiana (después de un elemento fluido). Aquí expresaré no solo dónde estoy atascado, sino también mi comprensión actual del tema, por lo que le ruego que si encuentra algún concepto erróneo, ¡por favor, indíquelo!

>> Antecedentes

Hasta ahora, yo (creo que) sé que en la perturbación euleriana , si h ( r , t ) es la cantidad perturbada, donde r = r 0 + d r es el nuevo vector de posición y d r es un pequeño desplazamiento alrededor r 0 , entonces

h ( r , t ) = h 0 ( r ) + h ′ ( r , t ) ,                 ( 1 )
dónde h 0 ( r ) es la cantidad en un estado de equilibrio evaluada en r y h ′ ( r , t ) es una pequeña perturbación.

Por otro lado, la perturbación lagrangiana d h ( r ) Se puede escribir como

d h ( r ) = h ( r 0 + d r ) − h 0 ( r 0 ) = [ h ( r 0 ) + d r ⋅ ∇ h 0 ( r 0 ) ] − h 0 ( r )
o, usando la relación encontrada para la perturbación euleriana, eq. ( 1 ) , evaluado en r 0 ,
d h ( r ) = h ′ ( r 0 ) + d r ⋅ ∇ h 0 ( r 0 ) .

>> La pregunta

Lo que me cuesta relacionar es d h ( r ) y h ′ ( r , t ) . Ambas son pequeñas perturbaciones pero, en este caso, existe una dependencia explícita de r 0 por d h ( r ) . Sin embargo, si arreglo r 0 , ambos representan una perturbación sobre ese punto entonces... ¿por qué son diferentes? Mi intuición (probablemente confundida por saber; gracias QM) me dice que son iguales, pero la notación es diferente en casi todos los libros que he leído sobre el tema. ¿Alguien puede arrojar algo de luz aquí?

Respuestas (1)

La descripción euleriana es un mapa desde un punto en el espacio real X (índices suprimidos) y la etiqueta del fluido Φ que se encuentra en X En el momento t , a saber ( t , X ) → ( t , Φ ( t , X ) ) . Los observables físicos son, típicamente, funciones de Φ y sus derivados ∂ Φ (a menos que haya fuentes externas), como h = h ( Φ , ∂ Φ ) . Esto corresponde a un enfoque de teoría de campo estándar. Viceversa, la descripción lagrangiana es el mapa inverso, en cualquier momento, de un elemento fluido etiquetado por Φ a su posición en el espacio real X ( t ) , a saber ( t , Φ ) → ( t , X ( t , Φ ) ) . Relacionar las dos descripciones es solo cuestión de cambiar las variables, por ejemplo h ( Φ ) se convierte h ~ ( t , X ) = h ( Φ ( t , X ) ) al pasar a la formulación lagrangiana (asumiendo que h es una cantidad escalar). Con un ligero abuso de la notación, se acostumbra no incluir la \tilde arriba.

Volviendo a tu ejemplo original en la teoría de la perturbación: cuando dices X 0 + d X en la formulación lagrangiana en realidad te estás refiriendo a algún elemento fluido Φ 0 que no se encuentra en X 0 más sino en X ( t , Φ 0 ) = X 0 ( t , Φ 0 ) + d X ( t , Φ 0 ) . También puedo leerlo diciendo que en el punto X 0 Encuentro un nuevo elemento fluido, es decir Φ 0 + d Φ (Descripción euleriana). Por consistencia de estas dos descripciones, es decir ( Φ 0 + d Φ ) ( t , X 0 + d X ) = Φ 0 ( t , X 0 ) , obtenemos

d Φ = − ∂ Φ i ∂ X j | X 0 d X j .
Ahora, imagina que estás interesado en alguna cantidad física h ~ ( t , X ) = h ( t , Φ ( t , X ) ) . La perturbación se lee así
d h ~ = − ∂ h ∂ Φ i | Φ 0 ∂ Φ i ∂ X j | X 0 d X j .

¿Puedes explicar, físicamente, la diferencia? veo el matemático; es el físico que no entiendo.
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@nestor: He tratado de dejar más claro cuáles son las perturbaciones al volver a editar mi respuesta. No hay diferencia física, solo se trata de qué coordenadas te gustan más.
Tratando de vincular las perturbaciones eulerianas y lagrangianas
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