Nota rápida

Según Wikipedia , una solución de similitud es una forma de invariancia de escala tal que, en el caso del flujo de un fluido, el flujo "parece" el mismo independientemente del tiempo o la escala de longitud.

Pregunta 1

Está escrito que para la existencia de soluciones de similitud, el número de Mach debe ser constante... ¿por favor explique esto?

En el caso de soluciones similares a las de Taylor-Sedov-von Neumann [p. ej., véanse las páginas 192-196 en Whitham , 1999], el parámetro relevante es la posición de la onda de choque en$r = R\left( t \right)$, dada por:

$$R\left( t \right) = k \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{2/5} \tag{1}$$ dónde $t$es el tiempo desde la liberación inicial de energía $E$de una fuente puntual, $\rho_{up}$es la densidad de masa del gas ambiental, y $k$es un parámetro adimensional utilizado para escalar. Estas soluciones se basan en dos suposiciones dadas a continuación:

1. la explosión fue el resultado de una liberación repentina de energía$E$de una fuente puntual y$E$es el único parámetro dimensional introducido por la explosión;
2. la perturbación es tan fuerte que la presión del aire/gas ambiental y la velocidad del sonido pueden despreciarse en comparación con las de la onda expansiva.

La segunda suposición implica el límite de choque fuerte, es decir, que los parámetros aguas abajo están dados por (en el marco de choque):

$$\begin{align} U_{dn} & = \left( \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \right) U_{up} \tag{2a} \\ \rho_{dn} & = \left( \frac{ \gamma + 1 }{ \gamma - 1 } \right) \rho_{up} \tag{2b} \\ P_{dn} & = \left( \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \right) \rho_{up} \ U_{up}^{2} \tag{2c} \end{align}$$ donde subíndice $up$( $dn$) corresponde a los promedios aguas arriba (aguas abajo), $\gamma$es la relación de calores específicos , $U_{j}$es la velocidad de flujo a granel en la región $j$(es decir, $up$o $dn$), y $P_{j}$es la presión (aquí solo usando presión dinámica o ram ) en la región $j$.

Se puede ver en la Ecuación 1 que el único parámetro relevante del aire/gas ambiental es la densidad,$\rho_{up}$. Tenga en cuenta que la velocidad de choque,$U_{up}$, entonces estará dada por$dR/dt$(es decir, la derivada temporal de la Ecuación 1), o:

$$\begin{align} U_{up}\left( t \right) & = \frac{ 2 \ k }{ 5 } \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{-3/5} \tag{3a} \\ & = \frac{ 2 \ k^{5/2} }{ 5 } \sqrt{ \frac{ E }{ \rho_{up} } } \ R^{-3/2} \tag{3b} \end{align}$$ Dado que la densidad y la presión aguas arriba se suponen constantes, entonces la velocidad del sonido aguas arriba, $C_{s,up}$, debe ser constante también.

Respuesta 1: El número de Mach estaría proporcionalmente relacionado con el tiempo como$M \propto t^{-3/5} \propto R^{-3/2}$, que no es constante pero puede expresarse independientemente de escalas temporales o espaciales. En distancias radiales muy pequeñas, por supuesto, se puede aproximar el número de Mach como aproximadamente constante, pero esta no es una buena aproximación en muchos casos a menos que el impacto sea "antiguo".

Pregunta 2

y Explique cuándo es posible encontrar flujos autosimilares con números de Mach variables.

La autosimilitud de las relaciones anteriores surge porque no hay escalas de duración o de tiempo independientes en las soluciones. Esto se debe a que podemos reescribir las Ecuaciones 2a y 2c únicamente en términos de$E$y$R$de modo que no dependan explícitamente de la duración o el tiempo. Podemos resolver la Ecuación 1 para$t$y utilícelo para invertir nuestras expresiones de presión y velocidad de flujo. Estas expresiones se dan como:

$$\begin{align} U_{dn} & = \left( \frac{ 4 \ k }{ 5 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{-3/5} \tag{4a} \\ & = \left( \frac{ 4 \ k^{5/2} }{ 5 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \sqrt{ \frac{ E }{ \rho_{up} } } \ R^{-3/2} \tag{4b} \\ P_{dn} & = \left( \frac{ 8 \ \rho_{up} \ k^{2} }{ 25 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{2/5} \ t^{-6/5} \tag{4c} \\ & = \left( \frac{ 8 \ E \ k^{2} }{ 25 \left( \gamma + 1 \right) } \right) R^{-3} \tag{4d} \end{align}$$

Así puedes ver que$U_{dn}$y$P_{dn}$son sólo funciones (explícitamente) de$E$y$R$. Desde$E/\rho_{up}$tiene unidades de$L^{5}/T^{2}$, podemos definir un parámetro adimensional$\zeta = E t^{2}/\rho_{up} r^{5}$que todos los parámetros relevantes (p. ej.,$U_{dn}$) debe depender de alguna manera, donde$r$es solo una posición radial. Podemos definir aún más el parámetro adimensional$\xi = r/R\left( t \right) \propto \zeta^{-1/5}$, de la que deben depender todas nuestras características.

Respuesta 2: El número de Mach puede ser variable (es decir, depende de la posición radial), pero se puede construir un conjunto de ecuaciones en las que no dependa explícitamente de una escala de longitud o tiempo. Creo que puede haber estado confundiendo constante con independencia de las escalas de tiempo y longitud.

Pregunta 3

También dígame el rango de números de Mach y Knudsen que son aplicables en el medio interestelar.

Wikipedia tiene una lista de parámetros relevantes para el medio interestelar (ISM). Puede usar las expresiones que se encuentran en esta respuesta para determinar las velocidades de sonido relevantes. Para determinar el número de Knudsen ,$K_{T}$, puede estimar la ruta libre media de colisión de Coulomb y usar el$L_{T} = \lvert d \ln{T_{e}}/dx \rvert^{-1}$como la longitud de escala característica, donde$T_{e}$es la temperatura del electrón (también podría usar una temperatura total) y$d/dx$es solo un gradiente espacial unidimensional.

Respuesta 3: En el viento solar$K_{T}$~ 0,01-10 [p. ej., Bale et al. , 2013; Horaites et al. , 2015; Landi et al. , 2014] y$K_{T}$~ 1 para el medio interestelar local o LISM [p. ej., Baranov , 2009]. Para otras regiones ISM, la incertidumbre en$K_{T}$será grande, ya que debe inferirse solo de las mediciones de radiación electromagnética, que requieren numerosas suposiciones para invertir el espectro en una distribución de velocidad de partículas.

En cuanto al número de Mach en el ISM, eso depende de qué objeto o marco de referencia. Si está buscando el número de Mach de, digamos, la heliosfera con respecto al LISM, existen numerosos documentos sobre el arco de choque heliosférico (en realidad, en este momento se está debatiendo si el flujo del LISM es lo suficientemente grande como para producir un arco). choque aquí).

Referencias

• Bale, SD, et al. (2013) "Conducción de calor de electrones en el viento solar: transición de Spitzer-Härm al límite sin colisiones", Astrophys. J. Lett. 769 (2), L22, doi:10.1088/2041-8205/769/2/L22.
• Baranov, VB (2009) "Perspectiva de fluido cinético sobre el modelado de la interfaz media heliosférica/interestelar", Space Sci. Rev. 143 , págs. 449-464, doi:10.1007/s11214-008-9392-6.
• Horaites, K., et al. (2015) "Teoría autosimilar de conducción térmica y aplicación al viento solar", Phys. Rev. Lett. 114 (24), 5003, doi:10.1103/PhysRevLett.114.245003.
• Landi, S., et al. (2014) "Flujo de calor de electrones en el viento solar: ¿estamos observando el límite de colisión en los datos de 1 AU?", Astrophys. J. Lett. 790 (1), L12, doi:10.1088/2041-8205/790/1/L12.
• Whitham, GB (1999), Ondas lineales y no lineales , Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.