Tratando de entender por qué la señal se invirtió en esta ecuación de respuesta de paso RC

Question

Tratando de entender por qué la señal se invirtió en esta ecuación de respuesta de paso RC

Pato

Estoy viendo este video donde el chico está derivando las ecuaciones para la función de paso de un circuito RC en serie.

En algún punto tiene la siguiente ecuación:

$\frac{dt}{RC} = \frac{dv}{v_s - v}$

y de repente multiplica ambos lados por -1 para obtener un signo menos en el lado izquierdo e invertir $v$ y $v_s$

$-\frac{dt}{RC} = \frac{dv}{v - v_s}$

Lo justifica diciendo "vamos a hacer eso porque queremos escribir v menos v_s"

¿qué?

Obviamente él sabe que ese signo menos será el exponente exponencial, haciendo que el resultado final sea correcto, pero esto no es una justificación matemática.

¿Tienen alguna idea de por qué?

NOTA: puede ver el cambio de signo en el lado derecho, en la línea aparece por primera vez el símbolo integral.

scott seidman

No estoy seguro de lo que estás preguntando. ¿Estás tratando de decir que este paso es algebraicamente misterioso? No tiene nada de malo. No necesitas justificación para hacer una manipulación algebraica

Pato

el problema es que la manipulación conduce a la respuesta correcta. Imagina que eres el primer científico que llega a esa ecuación. No tendrías esta idea de multiplicar repentinamente por -1. No sabrías eso. Lo que quiero decir es que el signo menos debería aparecer de forma natural, no porque sepas que te llevará a la respuesta correcta.

scott seidman

No hacer la multiplicación también te llevará a una respuesta correcta.

Pato

no lo veo Si puede publicar una respuesta que muestre que se lo agradezco.

Respuestas (2)

Tratando de entender por qué la señal se invirtió en esta ecuación de respuesta de paso RC

No estoy seguro de lo que estás preguntando. ¿Estás tratando de decir que este paso es algebraicamente misterioso? No tiene nada de malo. No necesitas justificación para hacer una manipulación algebraica
el problema es que la manipulación conduce a la respuesta correcta. Imagina que eres el primer científico que llega a esa ecuación. No tendrías esta idea de multiplicar repentinamente por -1. No sabrías eso. Lo que quiero decir es que el signo menos debería aparecer de forma natural, no porque sepas que te llevará a la respuesta correcta.
No hacer la multiplicación también te llevará a una respuesta correcta.
no lo veo Si puede publicar una respuesta que muestre que se lo agradezco.

Blair Fonville · Answer 1

Es lo mismo de cualquier manera. No tienes que multiplicar por -1. Intentalo:

\begin{aligned} \frac{d t}{R C} & = \frac{d v}{v_{s} - v} \\ \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{v_{s} - v} & = \int_{0}^{t} \frac{d t}{R C} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dt}{RC} &=\frac{dv}{v_s-v}\\ \\ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v_s-v} &= \int_{0}^t \frac{dt}{RC}\\ \end{align}$

olvidémonos del lado derecho, ya que no se relaciona con su pregunta.

Usando

\begin{aligned} \int \frac{1}{a X + b} d X = \frac{1}{a} yo norte | a X + b | \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a}ln|ax+b|\\ \end{align}$

entonces $a=-1$ y $b=v_s$ entonces

\begin{aligned} \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{v_{s} - v} \to (- 1) yo norte | v_{s} - v | \end{aligned}

$\begin{align} \int_{v_0}^v \frac{dv}{v_s-v} \rightarrow(-1)ln|v_s-v|\\ \end{align}$

ahora sigue el resto del tutorial y eventualmente terminarás con

\begin{aligned} - v & = - v_{s} + (v_{s} - v_{0}) {mi}^{\frac{- t}{R C}} \end{aligned}

$\begin{align} -v &= -v_s + (v_s-v_0)e^{\frac{-t}{RC}}\\ \end{align}$

en cuyo punto, obviamente, para resolver para $v$ , multiplica ambos lados por -1.

BRILLANTE. Estaba olvidando el signo menos que viene con el ln. Ahora veo. ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡GRACIAS!!!!!!!!!!!!!!! De todos modos, sigo de acuerdo en que el tipo no debería cambiar el signo menos, sin razón, en el momento en que lo hizo. Es mucho mejor dejar que la señal surja de forma natural. GRACIAS
@SpaceDog No hay problema. Y estoy de acuerdo con tus puntos. Las operaciones deben realizarse solo cuando existe una razón clara para hacerlo. No hay una razón obvia para cambiar los signos donde lo hace, y no ahorra ningún paso: lo hace allí o al final. Pero hacerlo sin una razón obvia, en medio de la formulación, hace que parezca que se está produciendo algún truco matemático.
sí y hace que no entiendas ni creas en lo que te está explicando. Gracias de nuevo.

Sven B. · Answer 2

En pocas palabras, $v - v_s$ tiene una interpretación más fácil que $v_s - v$ .

$v - v_s$ es solo una traducción.

$v_s - v$ es una traslación y una inversión espejo/signo para $v$ .

Personalmente, no veo ningún problema en ejecutar un paso temprano si sabes con qué tienes que terminar como educador. No debería conducir a una respuesta diferente y puede hacer que otros pasos sean más fáciles de ver. Ese menos habrá aparecido allí de alguna manera más tarde de todos modos.

\begin{aligned} \frac{d t}{R C} & = \frac{d v}{v_{s} - v} \\ ⇓ \\ \frac{1}{R C} \int_{0}^{t} d t & = \int_{v_{0}}^{v} \frac{1}{v_{s} - v} d v \\ ⇓ \\ \frac{t}{R C} & = - \int_{v_{0}}^{v} \frac{1}{v_{s} - v} d (- v) \\ ⇓ \\ \frac{t}{R C} & = - (en | v_{s} - v | - en | v_{s} - v_{0} |) \\ ⇓ \\ \frac{t}{R C} & = - en | \frac{v_{s} - v}{v_{s} - v_{0}} | \\ ⇓ \\ - \frac{t}{R C} & = en | \frac{v - v_{s}}{v_{0} - v_{s}} | \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dt}{RC} &= \frac{dv}{v_s-v}\\ &\Downarrow \\ \frac{1}{RC}\int_0^tdt &= \int_{v_0}^v \frac{1}{v_s - v}dv \\ &\Downarrow \\ \frac{t}{RC} &= -\int_{v_0}^v \frac{1}{v_s-v}d(-v) \\ &\Downarrow \\ \frac{t}{RC} &= -\left( \ln|v_s-v| - \ln|v_s-v_0| \right) \\ &\Downarrow \\ \frac{t}{RC} &= -\ln\left| \frac{v_s-v}{v_s-v_0} \right| \\ &\Downarrow \\ -\frac{t}{RC} &= \ln\left| \frac{v-v_s}{v_0-v_s} \right| \end{align}$

No importa lo que intentes, mientras tengas equivalencia terminarás con las mismas ecuaciones de una forma u otra. Si obtuviste un resultado diferente al del maestro, algo hiciste mal.

Lo siento, pero no veo tu punto. ¿Te importa ampliar la respuesta?
No estoy seguro de qué tipo de convencimiento necesitas. Agregué un ejemplo de cómo puedes abordar las ecuaciones tratando de mantener el signo menos para más adelante, pero debes hacerlo de una forma u otra.
@SvenB Buena respuesta, pero corrija sus matemáticas: $\int \frac{1}{X} d X = en | X | + C$ $\int\frac{1}{x}\space\text{d}x=\ln\left|x\right|+\text{c}$

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