Circuito RLC de estado estacionario con fuente de corriente dependiente

A pesar de los comentarios en contrario, este circuito tiene una solución de estado estable ya que la fuente de voltaje produce 20V para$t \ge 0$.

Mi mejor suposición es que debido a que hay una rama paralela que por KCL debería ser igual a 100ix y sería cero debido al circuito abierto proporcionado por el capacitor.

Eso es correcto. El KCL de estado estacionario en el nodo en cuestión es:

$$i_x + 99i_x = i_C(\infty) = 0 \rightarrow i_x = 0$$

Sin embargo, esto parece contrario a la intuición porque la electricidad no querría dar la vuelta al circuito exterior.

Puede parecer contrario a la intuición, pero eso se debe a que su intuición aún no se ha desarrollado por completo. Una vez que llegue a comprender completamente la implicación de esa fuente actual, el resultado parecerá obvio .

Lo que debe apreciar completamente es que una fuente de corriente determina completamente la corriente a través de su rama. Si hay una fuente de corriente en una rama y establece su valor en cero, la rama está abierta , es decir, no puede pasar corriente para ningún voltaje.

Y en este caso, ¿cómo se maneja un bucle que tiene una fuente de corriente dependiente que depende de su propia corriente? ¿Es eso posible?

Pero este no es el caso aquí*. Hay dos mallas (bucles), una con corriente$i_x$y el otro con corriente$99i_x$. Entonces, la variable de control de la fuente de corriente dependiente no es "su propia corriente".

Pero, si fuera el caso, entonces la única forma de que la fuente produzca una corriente distinta de cero es que la ganancia de corriente sea precisamente 1:

$$i_x = ki_x \rightarrow i_x = 0$$

a menos que$k=1$en cuyo caso tienes

$$i_x = i_x$$

Dado que cualquier valor de$i_x$satisface la ecuación, la corriente es indeterminada . Por ejemplo:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

En este circuito, el voltaje y la corriente no están determinados. La única ecuación que se puede escribir es:

$$V_{CCCS1} = I_{CCCS1} \cdot 100\Omega$$

Pero no podemos determinar cuál es realmente la corriente o el voltaje ya que tenemos dos incógnitas y solo una ecuación.

* Sí, en estado estacionario, se podría argumentar que es el caso aquí, por lo tanto, el resto de la respuesta.

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El circuito equivalente a la derecha de la resistencia.

Es sencillo mostrar que el circuito equivalente que mira a la derecha de la resistencia es:

^{simular este circuito}

En otras palabras, a los efectos de calcular$i_x(t)$, uno puede reemplazar el circuito a la derecha de la resistencia con el equivalente anterior. Ahora, uno puede ver por inspección que$i_x(\infty) = 0$

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La corriente en estado estacionario es cero porque, dado que la excitación es CC:

1. La tapa es un circuito abierto, por lo que la corriente a través de esa rama es cero.
2. La corriente de entrada a esa rama proviene de dos ramas, una tiene$i_x$y el otro tiene$99i_x$.

Entonces tienes eso$100i_x$es cero, por lo tanto$i_x$es cero

Con respecto a su comentario de que la corriente quiere pasar por el bucle externo, como una especie de bucle de retroalimentación (ya que una corriente es un factor de la otra y están conectadas entre sí):

Primero debe darse cuenta de que el inductor de la derecha tiene un efecto cero, pase lo que pase. Esto se debe a que todo lo que hace un inductor es generar un voltaje en sus terminales que se opone a los cambios de corriente. Pero la naturaleza de una fuente de corriente (dependiente o independiente) es que variará su voltaje tanto como sea necesario para que fluya la corriente definida. Por lo tanto, contrarrestará cualquier voltaje que pueda desarrollarse a través del inductor. Entonces puede poner resistencias, fuentes de voltaje, inductores, etc. en serie con la fuente de corriente, y no importarán.

Una vez que ves eso, te das cuenta de que esa rama derecha solo se suma proporcionalmente a lo que fluye a través de la rama izquierda. Se convierte en un amplificador de corriente y el factor de salida es 100 (= 99 + 1, ya que también fluye la corriente original). El valor de corriente real ix dependerá de cómo reaccione la rama central a la fuente de voltaje + excitación de la resistencia en serie, sabiendo que la corriente a través de ellos está siendo amplificada por la "inyección" de 99ix.

Alfred te dio un circuito equivalente con la tapa 100 veces más pequeña y un inductor 100 veces más grande.

Esto se debe a que con un capacitor, el efecto de voltaje de aumentar la corriente es equivalente a reducir la capacitancia:

$$dV_C = \frac{(100i)}{C} dt = \frac{i}{(C/100)} dt$$

Y con un inductor, el efecto de voltaje de escalar la corriente es equivalente a escalar la inductancia:

$$V_L = L\frac{d(100i)}{dt} = (100L)\frac{di}{dt}$$

Entonces, en este circuito, el efecto de escalar la corriente es equivalente a escalar los componentes que alimenta en consecuencia, en términos del voltaje desarrollado en los 2 nodos que los contienen.

Si u(t) es realmente la función escalón unitario, primero debe decirlo claramente y, en segundo lugar, la corriente es claramente 0 en estado estacionario a partir de la inspección.

En estado estable, los capacitores son circuitos abiertos y los inductores cortos. Por lo tanto, el tramo vertical medio del circuito no está allí. Ahora tiene dos fuentes de corriente que deben ser iguales y opuestas, pero la única solución convergente posible es que ambas sean cero.

Dicho matemáticamente, Ix = -99 Ix, siendo Ix = 0 la respuesta obvia. Aquí no son necesarios muchos análisis sofisticados.