¿Cómo afecta la constante de tiempo RC al comportamiento de un integrador/diferenciador pasivo?

Lo que quieren decir es que un filtro R/C pasivo solo puede aproximarse a un diferenciador/integrador siempre que la constante de tiempo sea mucho más lenta que la señal. La razón de esto es que el verdadero comportamiento de un circuito R/C y R/L es exponencial en el tiempo, por ejemplo, según la teoría básica de circuitos, la respuesta general de un circuito RC es

$$V=V_0 (1-e^{(-t/RC)})$$ Si RC es grande, e^x es casi lineal para valores pequeños de t, lo que produce un comportamiento cercano a un integrador/diferenciador ideal.

Otra forma de verlo es considerar el caso del integrador en 1.15 con una entrada de voltaje constante (por ejemplo, Vin = 10 V). Esperamos que la salida sea una rampa lineal de pendiente constante (integración de una constante = línea recta). Sin embargo, si RC es demasiado pequeño, lo que sucede es que después de un tiempo de integración, V aumentará debido a la carga del capacitor C. Esto disminuirá la corriente a través de R, que a su vez disminuye la "pendiente" del voltaje de salida. En algún momento, cuando V = Vin, el integrador deja de funcionar por completo. Así es como el comportamiento del integrador pasivo se desvía del integrador ideal. Por el contrario, si RC es lo suficientemente grande, el voltaje a través del capacitor C nunca será lo suficientemente grande como para reducir la corriente a través de la resistencia R, por lo que la corriente a través de la resistencia R será aproximadamente constante, comportándose como un integrador.

Tenga en cuenta que puede usar amplificadores operacionales y otros componentes activos para forzar que la corriente a través de la resistencia (en 1.15) sea constante, así es como funciona el siguiente circuito "integrador ideal":

Como alternativa, puede observar la respuesta de fase de los circuitos. Recuerde que un proceso de diferenciación (integración) ideal requiere un cambio de fase entre la entrada y la salida de +90 grados (-90 grados). Un CR pasivo resp. La combinación RC permite estos valores solo para frecuencias infinitas. Por lo tanto, solo es posible una aproximación de la operación requerida para frecuencias relativamente grandes (muy por encima de 1/RC).

Como ejemplo activo, el integrador activo (inversor) que se muestra permite el cambio de fase requerido (con errores menores) dentro de una banda de frecuencia relativamente amplia, sin embargo, con un valor de +90 grados (debido a la propiedad inversora).