Transponer el mapa ¿Positivo, pero no completamente positivo?

Estoy leyendo Introducción a la computación cuántica de Kaye, Laflamme y Mosca. Aquí hay una pregunta con la que estoy luchando:

Ejercicio 3.5.6: Demostrar que el mapa transpuesto, que mapea$\rho \mapsto \rho^{T}$es positivo ¹ , pero no completamente positivo ² .

Ahora, la positividad se define en términos del producto interno, es decir$\rho$es positivo si y si$\forall v\in \mathcal{H}$,$\left<v, \rho v\right> \ge 0$, pero "transponer" se define en términos de una operación en matrices. Entonces pude obtener esto bajo el supuesto de que$\rho^{T} = \rho^{*}$, pero no bajo el supuesto más débil de que$\rho$es simplemente positivo. ¿Es esto cierto incluso si no asumo$\rho^{T} = \rho^{*}$?

En cuanto a mostrar que el mapa de transposición no es completamente positivo, francamente no sé lo que estoy haciendo y pido toda la ayuda que puedan brindarme. Mi intento se da a continuación, aunque no vale la pena leerlo:

Dejar$\rho\otimes \gamma$Sea un mapa positivo, de modo que$\forall u\otimes v \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{B}$

$$\left<u\otimes v, \rho u \otimes \gamma v\right> := \left<u, \rho u\right>\left< v, \gamma v \right> \ge 0.$$ Entonces el mapa transpuesto tensorado con la identidad toma $\rho \otimes \gamma$a $\rho^{T}\otimes \gamma$, y tenemos (de nuevo suponiendo $\rho^{T}=\rho^{*}$) $$\left<u\otimes v, \rho u \otimes \gamma v\right> := \left<u, \rho^{T} u\right>\left< v, \gamma v \right> = \overline{\left< u, \rho u\right>}\left<v, \gamma v \right> =\frac{\overline{\left< u, \rho u\right>}}{\left< u, \rho u\right>}\left<u, \rho u\right>\left< v, \gamma v \right>.$$ Entonces $\frac{\overline{\left< u, \rho u\right>}}{\left< u, \rho u\right>}$debe ser $\ge 0$. . .(en este punto estoy perplejo.)

¹ "Positivo" en este contexto significa "asigna operadores positivos a operadores positivos".

² Definen completamente positivo de la siguiente manera: un mapa es completamente positivo si y solo si es positivo y, además, cuando se tensa con la operación de identidad, aún mapean operadores positivos a operadores positivos.