¿Cómo aplicar una puerta Hadamard?

Por su definición , la transformada de Hadamard viene dada por la matriz cuyas entradas son

$$(H_n)_{ij} = 2^{-n/2} (-1)^{i\cdot j}$$ dónde $i\cdot j$es el producto escalar bit a bit de las representaciones binarias, es decir, el número de veces $1,1$aparece en los mismos lugares (dígitos) tanto en $i$y $j$. Para el caso de tres qubits, la matriz es $$H_3 = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} \cdot \begin{pmatrix}\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix}$$ Puede multiplicar esta matriz por su vector, que es la columna $$\frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,0,0,0,0,0,1)^T$$ y obtendrás $$\frac{1}{2} (1,0,0,1,0,1,1,0)^T$$ Solo necesitaba mirar la primera y la última columna de $H_3$. Si hubiera dos entradas $1,1$allí, el resultado había $(1/2^{3/2})\cdot (1/\sqrt{2})\times (1+1) = 1/2$en la misma fila; Si fuera $1,-1$o $-1,1$, el resultado tuvo $0$en la misma fila. Tenga en cuenta que el vector resultante también tiene norma unitaria, $4\times 1^2 / 2^2 = 1$, como lo garantiza el hecho de que la matriz de Hadamard sea unitaria.

La transformada de Hadamard es una especie de transformada discreta de Fourier. Tenga en cuenta que tenía$2$entradas igualmente representadas en el vector original; no es un accidente que su transformación de Hadamard haya$8/2=4$entradas distintas de cero (con el mismo valor absoluto). Aquí,$8$es la dimensión total del espacio de Hilbert y$2$en el denominador fue copiado de la segunda oración de este párrafo. Esta "relación inversa" es análoga a la relación de incertidumbre para$\Delta x$y$\Delta p$: cuanto más "localizado" está el vector original, más "deslocalizado" está su transformada de Hadamard.