Transferencia de calor entre dos superficies.

Voy a agregar algunos detalles matemáticos a lo que ha dicho akhmeteli.

Restrinjamos la discusión a una dimensión con coordenadas$x$, entonces la ley de Fourier en forma diferencial dice

$$q(x) = -k(x) T'(x)$$ dónde $q(x)$es el flujo de calor local, $k(x)$es la conductividad y $T(x)$es el gradiente de temperatura. Observe que la ley de Fourier muestra que en un punto dado, la derivada de la temperatura es importante, pero las derivadas de una función dependen del valor de esa función en una vecindad de ese punto, no solo del valor de la función en ese punto en particular. Por lo tanto, la respuesta (no del todo explícita) a su pregunta es que necesita ambos $k$'s en un punto donde dos materiales con diferente $k$están en contacto. Ahora veamos las matemáticas.

Si estás mirando un punto$x_0$en el que se unen dos materiales con diferentes conductividades, (digamos$k_a$corresponde a$x<x_0$y$k_b$corresponde a$x>x_0$, entonces$k(x)$tiene una discontinuidad de salto que se puede escribir con el uso de la función de paso de Heaviside$\theta(x)$;

$$k(x) = (k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a$$ Lo que da como resultado la siguiente ecuación diferencial: $$q(x) = -[(k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a] T'(x)$$ Que puede intentar resolver en un caso dado. Por ejemplo, consideremos un sistema de estado estacionario en el que $q(x) = q_0$es una constante y para la cual queremos determinar el gradiente de temperatura. Supongamos que este sistema consiste en barras de metal unidas en el punto $x_0$y cuyos extremos se encuentran en $x_0-L$y $x_0+L$respectivamente. Además, asumimos que estos otros dos puntos finales se mantienen a una temperatura $T_0$En este caso, la ecuación diferencial que queremos resolver $T(x)$es $$q_0 = -[(k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a] T'(x)$$ con los datos de frontera $$T(x_0-L) = T_0,\qquad T(x_0+L) = T_0$$ La ecuación diferencial que queremos resolver se puede reescribir como un conjunto de dos ecuaciones, una para $x<x_0$y otro para $x>x_0$; $$q_0 = -k_a T_a'(x), \qquad q_0 = -k_b T_b'(x)$$ Las soluciones generales son $$T_a(x) = T_0-\frac{q_0}{k_a} [x-(x_0-L)], \qquad T_b(x) = T_0-\frac{q_0}{k_b} [x-(x_0+L)]$$ y la temperatura en todas partes excepto en $x=x_0$Se puede escribir como $$T(x) = (T_b(x) - T_a(x))\theta(x-x_0) + T_a(x)$$ En particular, observe que hay una discontinuidad de salto en la temperatura en $x=x_0$; $$T_b(x_0) -T_a(x_0) = q_0 L\left(\frac{1}{k_b}-\frac{1}{k_a}\right)$$ y esta discontinuidad depende de ambos $k$valores, no sólo el valor de un lado en particular. Nótese además que si $k_a = k_b$, la discontinuidad desaparece como cabría esperar intuitivamente.

¡Espero que ayude! Avísame de cualquier error tipográfico.

¡Salud!