Términos no físicos que aparecen en las matemáticas aplicadas a la física

A veces, en física, las matemáticas conducen a "soluciones o términos no físicos", que el físico descarta fácilmente. Por ejemplo, al derivar tasas de absorción y emisión para interacciones de átomos de luz cuantificados en la clase de óptica cuántica, desechamos 2 términos del hamiltoniano, con el argumento de que no corresponden a ningún proceso físico observado:

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¿Cómo debemos entender lo que está pasando aquí desde un punto de vista epistemológico? Se siente un poco conveniente tirar estos 2 términos desde el punto de vista de las matemáticas, bueno, tal vez incluso incorrecto, en el sentido de que el hamiltoniano resultante ya no es el resultado de una derivación matemática sólida. ¿Sería deseable que el físico trabajara con matemáticas que no arrojaran soluciones no físicas? ¿No son las matemáticas, de hecho, irrazonablemente ineficaces en la física ?

El objetivo de la ciencia es hacer teorías que conduzcan a predicciones comprobables. Epistémicamente, el objetivo de la ciencia es tener un sistema que le permita predecir correctamente el resultado de los experimentos. La ciencia no es lo mismo que hacer matemáticas puras, y si hay un resultado matemático que es "no físico" y descartarlo no altera la precisión de las predicciones, entonces no hay nada epistémicamente incorrecto en hacerlo. así, en lo que respecta a la ciencia. La empresa de la física no es "necesitamos adherirnos estrictamente a todos los aspectos del rigor matemático", es "necesitamos predecir correctamente los resultados".
La palabra es "físico". Un médico es un médico. Y como señaló Heisenberg, siempre debe pedirle a su físico una segunda opinión.
Pude ver algunas cosas "incorrectas": 1. Las matemáticas están respaldadas por una deducción infalible, por lo que si esos términos surgieron en la derivación, entonces los axiomas son incorrectos, lo que significa que las matemáticas utilizadas no son las matemáticas que sigue la naturaleza, si sigue alguna. ¿matemáticas? ; 2. en otras situaciones, tal vez lo que tiramos hoy se cumpla mañana; 3. el resultado es matemáticamente incorrecto, ¿debemos proceder con un resultado matemáticamente incorrecto? O, ¿no sería más deseable para el físico una base matemática libre de tales términos no físicos?
(También hace mella en la "eficacia irrazonable de las matemáticas en la física", ya no es tan impresionante jaja ;-)
Consulte en.m.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics#Fictionalism y el libro de Field sobre la ciencia sin matemáticas. El objetivo de la ciencia es crear sistemas que conduzcan a predicciones correctas. Si está preguntando sobre los aspectos epistémicos de la ciencia con respecto a las matemáticas, la ciencia se preocupa más por las predicciones precisas que por el rigor matemático. Las matemáticas pueden ser necesarias para la física, pero trucos como la renormalización conducen a mejores predicciones, por lo que son herramientas perfectamente válidas de la física.
@Not_Here: sí, al final, es posible que tengamos que deshacernos de las matemáticas en física, y eso está bien. De todos modos, nadie dijo que la Naturaleza fuera matemática, o más bien, no hay razón alguna para que se ajuste a las matemáticas, y la observación tiene prioridad. Sin embargo, eso también significa en última instancia que la Naturaleza puede o no seguir nuestra lógica, ya que las matemáticas son básicamente lógica + axiomas.
Hay dos escuelas de pensamiento en matemáticas. Una escuela cree que el universo mismo está construido a partir de las matemáticas. La otra escuela cree que los humanos inventamos las matemáticas como una forma de entender el universo. Ninguno de los dos puede demostrar que tiene razón, pero tienen que lidiar con diferentes problemas. El que das aquí es un excelente ejemplo de uno que puede ser complicado (pero no imposible) para quien cree que el universo se rige por las matemáticas.
@CortAmmon: ¿puede sugerir más referencias para leer sobre ambas escuelas de pensamiento?
Sospecho, pero aún no he podido probar de manera concluyente, que esta simplificación particular está relacionada con la aproximación de onda giratoria,
Es el RWA en acción.

Respuestas (1)

Creo que este tipo de cosas suceden todo el tiempo. Por ejemplo, en algún cálculo u otro para la altura de un poste de telégrafo, es posible que necesite extraer una raíz cuadrada.

Ahora, hay dos raíces cuadradas, una negativa de la otra; por ejemplo, la raíz cuadrada de 25 es 5 o -5.

Para el problema que nos ocupa, -5 no tiene ningún sentido físico obvio; ¿De qué manera es un poste de telégrafo -5m de altura? Así que tiro esa solución y me quedo solo con la solución de 5m.

La moraleja de esta pequeña historia es que la epistemología aquí es ese término del que tanto se abusa, la intuición física.

Por supuesto, sucede todo el tiempo. El punto filosófico de este hilo es cuestionar y pensar por qué es así, y/o si sería deseable tener matemáticas que se adhieran más a las situaciones físicas. Tenga en cuenta que para el ejemplo del poste, debe trabajar con números positivos, que son los únicos adecuados para medir longitudes, y si se mantiene dentro de R+, no obtendrá raíces negativas. Así que podemos encontrar fácilmente una "matemática" que funcione mejor para esta situación física, de hecho.
¿Pero no fue así como se descubrieron los positrones? porque la ecuación de Dirac tenía soluciones positivas y negativas? Según su cálculo, existen postes de telégrafo de -5 m, solo tenemos que buscarlos.
@AlexanderSKing, que es la parte preocupante: a veces parece útil considerar las soluciones aparentemente "no físicas", ¡pero a veces hay que tacharlas para siempre! Eso no parece muy "confiable", o al menos viola las matemáticas de izquierda a derecha. Esto está bien ya que la observación tiene prioridad en la física, pero debería darle al menos una pequeña pausa al filósofo, ¿no?
@alexander king: ¡si vamos a buscarlos, los encontraremos enterrados bajo tierra! Claro (sobre los positrones), en realidad t'Hooft o fue Tomanaga, creo que este último, llamó a Diracs pensando 'acrobático'; es la cantidad de cosas que se encuentran, incluso en matemáticas; si hubiésemos descartado la raíz cuadrada de -1, ahí va un análisis complejo porque no pudimos encontrar una buena interpretación física para ello; y que tal 0/0? No suele darse cuenta de que el cálculo, como dx/dy proporciona la solución para esto.
Por cierto, elegí matemáticas simples para ilustrar el mismo problema conceptual que estás tratando de resolver; Tiendo a pensar que, al ilustrar un problema, elija los ejemplos más simples con los que pueda salirse con la suya, porque de esta manera las personas no se asustan con el formalismo que se les arroja (incluso si es en colores bonitos y bonitos) y pueden concentrarse en el problema conceptual en cuestión. Por supuesto, si se trata de afirmar las credenciales de uno como matemático o físico, entonces dispare; pero uno debe notar que este no es un sitio de matemáticas/física.
@MoziburUllah el humor era mi principal intención, no afirmar credenciales. Tratar de afirmar las credenciales en ciencias/matemáticas aquí es como si tratara de mostrar la velocidad de mi Renault Clio en una pista de carreras de Fórmula 1.
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