¿Teoría de la geometría completa que no sea Tarski?

Simone Ramello tiene razón al identificar Metamathematische Methoden in Der Geometrie de Schwabhäuser como la referencia adecuada para este tema, pero como él sugiere, este libro no ha sido traducido al inglés.

Dicho esto, solo necesita traducciones de dos páginas. Omito una discusión de los axiomas de Tarski, que se pueden encontrar en Wikipedia o, en una forma más digerible, en la sección 4 de este artículo.por Beeson et al. Al mirar la lista de Beeson, tenga en cuenta que el axioma del círculo CA es en realidad un caso especial restringido del axioma de continuidad A11 y no necesita contarse por separado. (La distinción aquí es que el axioma de continuidad más general A11 le permite encontrar un punto entre cualquier par de conjuntos, mientras que el axioma del círculo solo le permite ubicar el punto de intersección entre un círculo y una línea recta. En un nivel intuitivo, es algo así como la diferencia entre extender los números racionales a los reales proporcionando el axioma del límite superior mínimo completamente general o simplemente afirmando la existencia de raíces cuadradas). En la lista de Beeson, A10 es equivalente al axioma paralelo de Euclides.

Schwäbhauser en la Parte II, sección 2.1(i)(1) y 2.1(iii) define$n$geometría absoluta bidimensional como geometría absoluta con continuidad esencialmente tomando los axiomas A1-A7 de la lista de Beeson y llamándolos "geometría absoluta libre de dimensiones", luego reemplaza A8 y A9 con axiomas de dimensiones inferiores y superiores (aunque puede mantener A8 y A9 como está escrito si está interesado en geometría bidimensional) para obtener$n$-geometría absoluta dimensional. En 2.1 (i) (5) define "geometría absoluta n-dimensional completa" agregando el axioma A11.

Entonces, para la geometría bidimensional, básicamente tenemos todos los axiomas de Beeson (A1 a A11) excepto A10, que es el postulado de las paralelas euclidianas. En la sección 2.4, Schwabhäuser lo reemplaza con el Axioma de las paralelas hiperbólicas de Hilbert para obtener lo que él llamaría "geometría hiperbólica n-dimensional completa". La fórmula para este nuevo axioma (llamado HP en el libro) es una interpretación simbólica de esta gran expresión, que se puede expresar completamente en términos de colinealidad e intermediación (donde la colinealidad se puede definir en términos de intermediación:

si puntos$a$,$c$, y$d$no son colineales, entonces existen puntos$b_1$y b_2$ tales que las siguientes tres cosas son verdaderas:

1. $a$,$b_1$, y$b_2$no son colineales,
2. Para todos$u$, si$u$está entre$b_1$y$b_2$y los tres puntos$u$,$b_1$, y$b_2$, son distintos (desiguales entre sí), entonces existe un$x$colineal con$c$y$d$tal que$u$está entre$a$y$x$.
3. No hay$x$colineal con$c$y$d$para lo cual tampoco$b_1$o$b_2$está entre$a$y$x$.

(Fin del axioma HP.)

Continúa explicando el axioma intuitivamente: "Para cualquier punto no colineal$a$,$c$,$d$siempre hay dos rayos$\overrightarrow{ab_1}$,$\overrightarrow{ab_2}$empezando desde$a$, que no están contenidos en una línea [es decir, no son exactamente opuestos entre sí] y que no intersecan la línea$\overleftrightarrow{cd}$, mientras que cualquier otro rayo emitido desde$a$dentro del ángulo$\angle b_1ab_2$y a partir de$a$intersecta la línea$L(ad)$y proporciona una cifra que, por desgracia, no puedo reproducir aquí.

Entonces, la axiomatización que busca comprendería:

1. Axiomas A1 a A7 de la lista de Beeson (geometría absoluta sin dimensiones)
2. Un axioma de dimensión inferior y superior (A8 y A9 de la lista de Beeson serán suficientes si está trabajando en dos dimensiones; de lo contrario, debe usar los axiomas de PlanetMath)
3. Axioma de las Paralelas Hiperbólicas de Hilbert. Esto reemplaza el axioma A10, que es explícitamente euclidiano.
4. El axioma de continuidad A11.

Schwabhäuser llama a esa colección de axiomas$H^2_n$, donde el$2$significa que se está utilizando el axioma completo de continuidad de segundo orden, y el$n$indica la dimensionalidad de los axiomas que está utilizando para reemplazar A8 y A9.

En la sección 2.5, Schwabhäuser afirma que una estructura es un modelo de axiomas$H_n$si y solo si es isomorfo al$n$espacio de Klein bidimensional sobre los números reales. El espacio de Klein es esencialmente el modelo de Klein-Beltrami de Wikipedia: los puntos son$n$-vectores dimensionales de números reales cuyas longitudes [la norma vectorial habitual] son ​​menores que 1, donde$y$está entre$x$y$z$si hay un número real$\lambda$entre$0$y$1$para cual${\bf y}-{\bf x}=\lambda({\bf z}-{\bf x})$[esta es la misma definición de "intermediación" que usaría para vectores ordinarios en modelos ordinarios], y$xy\equiv uv$si la distancia$(1-{\bf x}\cdot{\bf y})^2\over(1-|{\bf x}|^2)(1-|{\bf y}|^2)$es igual a la distancia definida de manera similar para$u$y$v$.

Lo que quiere decir en 2.5 es que cualquier fórmula sobre puntos en$n$La geometría hiperbólica bidimensional, escrita en términos de los operadores de intermediación y equidistancia de Tarski, se puede convertir en una fórmula equivalente sobre$n$-vectores dimensionales de números reales, donde las distancias se representan en términos de esa métrica funky de Klein-Beltrami, pero la intermediación es la misma de siempre. Pero la fórmula equivalente que involucra números reales usa solo operaciones de campo (suma, resta, multiplicación y división), por lo que es decidible si y solo si su teoría de los números reales es decidible.

Tarski demostró que la teoría de primer orden de los números reales (la teoría de los "campos cerrados reales") es completa y decidible en 1933. Estoy bastante seguro de que la teoría completa de segundo orden de los números reales no está completa porque las teorías de conjuntos generalmente no están completos. Schwabhäuser anotó esta distinción en la sección 2.5 y la pasé por alto; básicamente dijo que si reemplaza el axioma de continuidad de segundo orden A11 con un esquema de axioma que consta de todos los axiomas de primer orden (es decir, los únicos conjuntos que puede usar en el axioma A11 son aquellos que están definidos en términos de relaciones entre puntos --- no hay problema con los conjuntos definidos en términos de otros cuantificadores de conjuntos), entonces la geometría resultante es equivalente al modelo de Klein-Beltrami sobre un campo cerrado real (es decir,

Entonces, para resumir: tome los axiomas de Beeson, reemplace A10 con AP, opcionalmente reemplace A8 y A9 con los axiomas correspondientes para un espacio de mayor dimensión, y restrinja A11 a un esquema de axioma de primer orden, y tendrá una axiomatización completa al estilo Tarski de$n$-geometría hiperbólica dimensional.