teoría de escala de la localización de Anderson

Pero, ¿cómo se relaciona esta cantidad con el problema original de Anderson? ¿Cómo se relaciona con la localización/deslocalización de los estados propios?

Digamos que tenemos un sistema finito de desorden de tamaño$L$y dimensión$d$en el que ponemos alguna partícula. Si el sistema es cerrado , en el sentido de que la partícula no puede salir del sistema, entonces los estados posibles están ligados al sistema, de modo que los estados propios de energía forman un espectro discreto . Teniendo en cuenta todos estos estados propios discretos, se puede calcular el espaciado de nivel medio $\Delta E$separando cada estado propio entre sí, lo que está asociado a la densidad media de estados $\nu$(por unidad de volumen):

$$\nu=\frac{1}{\Delta E\;L^d}.\tag{1}$$ A su vez, si el sistema es abierto , la partícula eventualmente puede salir del sistema alcanzando la frontera. El tiempo$\tau_D$que tarda la partícula en difundirse hasta el límite se determina de tal manera que: $$L\sim\sqrt{D\,\tau_D}\quad\text{i.e.}\quad\tau_D\sim\frac{L^2}{D},\tag{2}$$ donde$D$es el coeficiente de difusión.

Esto significa que, a través de su difusión en el desorden, la partícula solo puede resolver estados propios individuales con una resolución de energía$\delta E$tal que:

$$\delta E\,\tau_D\sim\hbar\quad\text{i.e.}\quad \delta E\sim\frac{\hbar D}{L^2}.\tag{3}$$ donde$\delta E$se llama a menudo la " energía sin mil ".

Entonces, el criterio de localización de Thouless [1] nos dice que el sistema está localizado en Anderson cuando esta resolución de energía$\delta E$es mucho menor que el espaciado de nivel medio$\Delta E$. De hecho, en este caso límite$\delta E\ll\Delta E$, la partícula puede resolver cada uno de los estados propios y ocupar uno de ellos para siempre.

Por el contrario, en el límite donde$\delta E\gg\Delta E$los diferentes niveles de energía se superponen entre sí, lo que significa que la partícula puede acoplarse y saltar de un estado a otro, lo que lleva a la difusión hacia el límite del sistema y la deslocalización.

Después de esta discusión, parece bastante natural definir la cantidad:

$$g=\frac{\delta E}{\Delta E}\sim\hbar D\,\nu\,L^{d-2}\tag{4}$$ como un parámetro de orden de la transición metal/aislante de Anderson, para el cual$g\gg 1$corresponde a la fase deslocalizada/metálica, y$g\ll 1$a la fase localizada/aislante.

En este punto, se podría argumentar que el vínculo entre esta nueva cantidad$g$y la conductividad habitual$G=\sigma\,S/L\sim\sigma\,L^{d-2}$según la ley de Ohm no está muy claro.

Pero como la conductividad$\sigma$y el coeficiente de difusión$D$están vinculados entre sí a través de la relación de Einstein:

$$\sigma\propto e^2\,\nu\,D\quad\text{such that}\quad G\sim e^2\,\nu\,D\,L^{d-2}\tag{5}$$ en realidad es fácil ver comparando las expresiones (4) y (5) que$g$no tiene dimensión y da la conductancia$G\sim (e^2/h)\,g$en unidad de cuántica de conductancia$e^2/h$.

Entonces, a las preguntas:

¿Está g(L) determinada por el hamiltoniano anterior?

Está determinado por las propiedades espectrales de los estados propios del hamiltoniano, como la densidad de estados.$\nu$y el espaciamiento de nivel medio de acuerdo con el tamaño$L$del sistema.

o se necesitan algunos parámetros más, digamos, la temperatura?

Todo lo que se ha dicho antes era para un sistema en$T=0$. Desde el punto de vista de la transición de fase entre estados localizados y difusivos, la única información relevante es la escala de$g$según el tamaño$L$del sistema, que está totalmente determinado por la$\beta$-función de la muy famosa teoría de escalamiento de la localización.

Para aquellos que estén interesados ​​en adentrarse en el campo de la localización de Anderson, recomendaría consultar las notas de la conferencia de Les Houches School of Physics sobre "Gases ultrafríos e información cuántica" (2009) impartidas por Delande y Müller. En mi opinión, es una de las raras referencias que logran introducir fenómenos de localización en términos simples mientras saltan pistas con los experimentos sobre el tema.

---

[1]: una buena revisión sobre este criterio de Thouless se puede encontrar en los sistemas electrónicos desordenados , PA Lee y TV Ramakrishnan, Rev.Mod.Phys. 57, 287 .

Como habrá notado, la literatura sobre la localización de Anderson utiliza varias definiciones diferentes de localización, que incluyen (¡pero no se limitan a!):

1. Una transición de estados propios extendidos a localizados. Esto implica un cambio de difusión finita a cero de una partícula inicializada en alguna región.

2. Una transición de conductividad finita a cero.

3. Un cambio en las estadísticas de la distribución de los estados propios de la energía, de una distribución no poissoniana (a menudo gaussiana) a niveles distribuidos poissionianos.

Estos observables corresponden, aproximadamente, a la firma de localización más fácil de investigar en teoría, experimentación y números. Las diferentes limitaciones de cada uno de estos tipos de investigaciones es la razón por la que se han utilizado tantas definiciones.

Existe alguna relación entre cada una de estas nociones de localización, especialmente en el caso más simple de partículas que no interactúan. Los estados propios localizados significan que es probable que los estados cercanos en energía estén separados espacialmente y casi desacoplados, lo que conduce a estadísticas de nivel de Poisson porque no se evita mucho el cruce . Los estados localizados también significan que las partículas tienen que hacer un túnel de un punto a otro para moverse a través de una muestra, con muchos desajustes de energía diferentes, lo que conduce a una conductividad que desaparece en el límite termodinámico.

Sin embargo, más allá de argumentos generales de este tipo, no es evidente que estas definiciones deban coincidir precisamente, y los argumentos utilizados para relacionarlas son generalmente poco rigurosos. Por ejemplo, el documento proporcionado por el OP más o menos afirma una conexión entre la sensibilidad de los estados propios de un sistema a las condiciones de contorno, parametrizados por el cambio de energía.$\Delta E$entre condiciones de contorno periódicas y antiperiódicas, y la conductancia adimensional (de la fórmula de Kubo). Entonces, la cadena de lógica es aproximadamente que los estados extendidos versus localizados conducen a una mayor o menor sensibilidad a las condiciones de contorno, lo que a su vez conduce a una conductividad que es finita o cero en el límite termodinámico. La relación entre estas cantidades, mencionadas en este artículo, se da de una manera un poco más elaborada en el artículo anterior de Thouless . Como referencia, esa fórmula, como se muestra en el documento 'Gang of Four', es:

$$\frac{\Delta E}{dE/dN}=\frac{2\hbar}{e^2}\sigma L^{d-2}$$

donde$dE/dN$es el espaciamiento de nivel medio y$L$es el tamaño de la muestra. Esto es probablemente lo más cercano que encontrará a una relación cuantitativa entre la localización en términos de estados propios y la localización en términos de conductividad. Sin embargo, en palabras del autor, "La equivalencia de la fórmula Kubo-Greenwood y la amplitud$\nu$de la distribución de$\Delta E$como se describe en la Ref. 3a no es precisamente demostrable".

La mejor referencia que conozco para comparar estos criterios de localización de una manera más general es la revisión de Van Tiggelen, que se encuentra aquí (paga, lo siento). Concluye que el criterio en términos de funciones de onda localizadas es más fuerte que el criterio de difusión nula, y también los compara con otros criterios de localización que no he mencionado aquí.

Finalmente, pregunta si$g(L)$está determinada por el hamiltoniano solo, o también por los estados que están ocupados (o la temperatura si se trata de una distribución térmica). El valor exacto de$g$ciertamente debería depender de cosas como la temperatura, pero la pregunta principal que investigó este artículo fue si siempre llegaba a cero en el límite termodinámico. Cuando lo hace, como concluyeron, es el caso de$d=1$y$2$, todos los estados del sistema están localizados y no importa qué estados estén ocupados. En$d=3$(y superiores), hay una conductancia mesoscópica crítica$g_c$por encima del cual el sistema se vuelve conductor en el límite termodinámico, y por debajo del cual es aislante. Esto depende de qué estados estén ocupados, no solo del hamiltoniano. Esto se debe a que el hamiltoniano tiene una ventaja de movilidad, donde los estados por debajo de cierta energía crítica se localizan y los estados por encima se extienden.