Teorema de Noether para el Lagrangiano no cíclico dependiente del tiempo

Question

Teorema de Noether para el Lagrangiano no cíclico dependiente del tiempo

rsaavedra

Me piden encontrar las simetrías y cantidades conservadas para un sistema con el siguiente Lagrangiano:

L = \frac{1}{2} metro {\dot{q}}^{2} - a F (t) q,

$\mathscr{L}=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-af(t)q,$

dónde $a$ es algo constante y $f(t)$ es una función arbitraria (pero integrable) del tiempo.

Encuentro este problema no trivial porque el lagrangiano no tiene coordenadas cíclicas y es una función del tiempo, por lo que ni el momento conjugado $p$ o la energía $E$ son cantidades conservadas.

Procedo tratando de encontrar alguna simetría tal que $\delta\mathscr{L}=dg/dt$ (o tal vez $=0$ , la idea es que esta condición es tal que las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenidas mediante el principio variacional se dejan invariantes). Entonces, aplicando el teorema de Noether , la cantidad conservada sería:

C = (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L) d t - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d q - gramo,

$C=\bigg(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\dot{q}-\mathscr{L}\bigg)\delta{t}-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\delta{q}-g,$

dónde $g$ puede o no ser cero. Entonces, para el Lagrangiano en consideración:

\begin{aligned} d L & = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial q} d q + \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ = (metro \dot{q}) d \dot{q} + (- a F (t)) d q + (- a \frac{\partial F}{\partial t} q) d t \end{aligned}

$\begin{align}\delta\mathscr{L}&=\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q}\delta q+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}\delta t\\ &=(m\dot{q})\delta\dot{q}+(-af(t))\delta q+(-a\frac{\partial f}{\partial t}q)\delta t\end{align}$

El problema aquí es que no puedo pensar en ninguna simetría que pueda satisfacer la condición de Noether. ¿Hay alguna otra prueba que pueda darme las simetrías correctas? ¿O tal vez puedo saber las cantidades conservadas mirando la forma del Lagrangiano pero me falta la intuición?

Respuestas (2)

Teorema de Noether para el Lagrangiano no cíclico dependiente del tiempo

EspecialM · Answer 1

La cantidad conservada que obtuvo Frotaur no proviene de una simetría. La forma de obtenerla es la siguiente. Consideramos una transformación de las coordenadas:

q \to q + ϵ

$q \rightarrow q + \epsilon$ El langrangiano transformado es:

L^{'} (q + ϵ, \dot{q}) = \frac{1}{2} metro \dot{q} - a F (t) q - a F (t) ϵ = L (q) - a F (t) ϵ

$L'(q+\epsilon,\dot{q})=\dfrac{1}{2}m\dot{q}-af(t)q - af(t)\epsilon=L(q)-af(t)\epsilon$ Tomando la derivada con respecto a

ϵ

$\epsilon$ en

ϵ = 0

$\epsilon=0$ tenemos :

\frac{d L^{'}}{d ϵ} |_{ϵ = 0} = - a F (t)

$\dfrac{dL'}{d\epsilon}\Bigr|_{\epsilon=0}=-af(t)$ Con un poco de trabajo puedes demostrar a partir del teorema de Taylor y las ecuaciones de Euler-Lagrange que en la familia general de transformaciones

q \to q + ϵ k (q, \dot{q})

$q\rightarrow q + \epsilon K(q,\dot{q})$ usted obtiene:

\frac{d L^{'}}{d ϵ} |_{ϵ = 0} = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} k (q, \dot{q}))

$\dfrac{dL'}{d\epsilon}\Bigr|_{\epsilon=0}=\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}K(q,\dot{q})\right)$ En nuestro caso

K (q, \dot{q}) = 1

$K(q,\dot{q})=1$ entonces obtenemos el resultado final que obtuvo Frotaur:

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = - a F (t)

$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=-af(t)$

metro \dot{q} = - a \int F (t) + C

$m\dot{q}=-a\int f(t) +C$

Fratauro · Answer 2

Si intenta ingenuamente sin buscar simetrías y, en cambio, escribe la ecuación de Euler-Lagrange, encontrará:

$m\ddot{q}=-af(t)$

Integrando, obtienes una cantidad conservada:

$m\dot{q}+a\int f(t)=C$

Todavía no estoy seguro de a qué simetría corresponde, pero creo que podría ser posible aplicarle ingeniería inversa.

Gracias. Del formalismo hamiltoniano puedo obtener las simetrías correspondientes usando la formulación de paréntesis, $(\delta q=\epsilon,\delta p=0)$ . Pero no veo cómo recuperar la cantidad conservada correspondiente al insertar las simetrías en $\delta\mathscr{L}$ .

Teorema de Noether para el Lagrangiano no cíclico dependiente del tiempo

rsaavedra

Respuestas (2)

EspecialM

Fratauro

rsaavedra

Del teorema de Noether al tensor canónico de Energía-Momento usando traslaciones

Corrientes conservadas del teorema de Noether

Demostración del teorema de Noether en mecánica clásica

Constantes de movimiento del sistema de partículas NNN interactivas por pares

Problema usando el teorema de Noether en lagrangiano dependiente del tiempo

Primera integral lagrangiana

Ninguna corriente del campo de Dirac bajo la traducción del espacio-tiempo [cerrado]

Elegir una cantidad conservada para obtener una simetría a través del Teorema Inverso de Noether

Corrientes conservadas en el Teorema de Noether con parámetro variable

Corriente conservada en un campo escalar relativista complejo