Es habitual en problemas de lentes gravitacionales proyectar tanto la fuente de fondo como la masa deflectora (por ejemplo, un quásar de fondo y una galaxia en primer plano que actúa como lente) en un plano.
Entonces, el problema de la lente se puede considerar como un mapeo entre el plano fuente sin lente y el plano de la imagen con lente. En tales transformaciones, el jacobiano evaluado en un punto del plano fuente, expresa cómo aumenta un área infinitesimal ubicada alrededor de ese punto.
La masa de la lente y la distribución de la masa, las posiciones relativas y las distancias involucradas dan lugar a diferentes escenarios. El caso especial en el que las distorsiones son demasiado pequeñas para ser resueltas por telescopios, se denomina régimen de microlente . Por lo general, un objeto oscuro e invisible, como un planeta flotante, cruza transversalmente frente a una estrella de fondo.
La imagen de la estrella de fondo sufre amplificaciones y distorsiones que no se resuelven, pero se detecta un cambio de brillo, con una forma de curva de luz muy típica. La curva de luz medida de un evento de microlente se puede relacionar con los parámetros físicos del problema, porque el cambio en el brillo de una imagen con lente se puede modelar simplemente dividiendo el área de la imagen con lente por la de la imagen fuente sin lente. Si eso se puede hacer, es porque el flujo superficial medio de la imagen es igual al de la fuente.
Es decir, las lentes gravitatorias pueden hacer que una fuente diminuta parezca más grande en el cielo pero, en términos simples, cada centímetro cuadrado de la imagen tiene el mismo brillo que cada centímetro cuadrado de la fuente. Aquí viene mi pregunta, porque me parece bastante contra-intuitivo y, cuando trato de encontrarle una justificación rigurosa, encuentro la misma frase arcana en cada libro, en cada reseña, en cada artículo que he visto:
'Debido al teorema de Liouville, las lentes gravitacionales conservan el brillo de la superficie'
(... y por lo tanto el aumento se encuentra dividiendo el área subtendida de la imagen por la de la fuente). Cada uno de los autores que he leído deja caer esa frase como si fuera algo muy obvio y rápidamente pasa a otras preguntas.
He tratado de rastrear el origen de la idea consultando la bibliografía de cada libro o documento en que se afirma. Curiosamente, he reconocido una especie de huella dactilar de puntos oscuros como este, un patrón que se repite en muchos de los documentos, como si algunos autores no entendieran y simplemente se copiaran unos a otros, desarrollando y personalizando solo las partes que entienden. entre.
He desarrollado y resuelto rigurosamente cada uno de los puntos oscuros de ese patrón, pero este sigue sin resolverse. ¿Es acaso algo obvio? ¿Cómo se aplica el teorema de Liouville a fotones a lo largo de geodésicas nulas? Aceptaré un enlace apropiado o una referencia en papel como una buena respuesta.
Esta pregunta es bastante antigua, pero pensé que otras personas además de OP podrían estar interesadas en la respuesta. Tenía exactamente la misma pregunta, así que le pregunté a mi asesor y me dijo que la respuesta se puede encontrar en dos lugares. Primero (y como era de esperar), hay una derivación completa en Misner, Thorne y Wheeler, particularmente en las secciones 22.5 y 22.6. También hay un intento de una explicación más intuitiva en Gravity from the Ground Up de Schutz , un libro muy interesante que intenta explicar GR solo con matemáticas de secundaria. En realidad, no estoy seguro de si la explicación dada allí tiene sentido, pero me ha ayudado a llegar a una que sí lo tiene.
Si tuviera que resumirlo todo, diría que la conservación del brillo superficial (o intensidad específica, o étendue, o...) es el resultado de un intercambio entre el volumen del espacio de posición y el volumen del espacio de momento, o entre el volumen sólido ángulo y área.
No reproduciré todas las matemáticas porque se pueden encontrar en MTW, pero la idea básica es la siguiente. El primer hecho importante es que puedes pensar en la propagación de la luz como un grupo de fotones "clásicos" que se mueven a lo largo de geodésicas nulas, y la cantidad de fotones se conserva.
Esta imagen de fotones te permite usar la teoría cinética, tal como se desarrolla en la sección 22.6 de MTW, donde se deriva el teorema de Liouville: dado un montón de partículas, el volumen en el espacio de fase ocupado por ellos, dado por el producto del volumen en el espacio tridimensional y en el espacio de cantidad de movimiento medido por un observador inercial local, es invariante de Lorentz y constante a lo largo de la línea universal. Por lo tanto, la densidad numérica es constante también. No revisaré la prueba ya que es mucho más fácil mirar las imágenes en MTW, pero este es el paso clave que tiene todas las consecuencias contrarias a la intuición.
El último paso es relacionar la densidad numérica con la intensidad específica o el brillo de la superficie. , la cantidad de energía por unidad de tiempo, el área del detector, la frecuencia y el ángulo sólido de los momentos de los fotones. Esta es una derivación bastante estándar, y tiene sentido. el resultado es que .
La frecuencia puede cambiar de manera loca a lo largo de la geodésica, pero mientras no haya un corrimiento al rojo cosmológico entre la fuente y el observador, el cambio neto será cero, por lo que para nuestros propósitos es constante, que es el resultado que necesitábamos. Una pieza dada de ángulo sólido desde la perspectiva del observador recibe el mismo flujo sin importar si hay una lente en medio o no.
Como habrás notado, esto tiene consecuencias bastante contrarias a la intuición. A partir de la conservación de la energía, esperaría (erróneamente) que una imagen más grande fuera más tenue, porque un ángulo de observación sólido dado cubre menos de la imagen con lente que de la imagen sin lente. Pero la imagen también aparece más cerca, por lo que también es más brillante. O, para decirlo en términos más cuidadosos, dado un punto en la fuente, la luz desde un ángulo sólido más grande llegará al observador que si no hubiera lentes (¡espero que esta oración tenga sentido!). La conservación del volumen del espacio de fase garantiza que estos dos efectos se cancelen exactamente entre sí.
Si alguien está interesado en pensar en esto, tengo algunos consejos. Debe tener cuidado al dibujar imágenes en 2D, porque el uso de ángulos sólidos es esencial: puede ocurrir que las imágenes se compriman en una dirección y se estiren en la otra, por lo que en un diagrama 2D la imagen parecería más pequeña cuando en realidad es más grande. Además, debe considerar los rayos de luz que emanan en un ángulo sólido dado desde un punto en la fuente, así como los rayos de luz que emanan de un área en la fuente que convergen en un punto en el observador con algún ángulo sólido. Esta es la compensación entre el ángulo sólido y el área que mencioné anteriormente.
A lo que se refieren es a una propiedad de la luz de la óptica geométrica. La propiedad conservada es "entendida" (consulte el artículo de wikipedia ), y la constancia del brillo se puede demostrar de varias maneras (óptica hamiltoniana, es decir, el teorema de Liouville, la segunda ley de la termodinámica como se indicó anteriormente, etc.).
Esta es solo la segunda ley de la termodinámica.
Supongamos que tiene un cuerpo negro fuente grande y un cuerpo negro objetivo pequeño. Construyes un montón de ópticas geométricas para enfocar la luz desde la fuente hasta el objetivo (por ejemplo, espejos detrás del objetivo y lentes frente a él). Eventualmente, un observador parado en el objetivo mira hacia arriba y ve la luz de la fuente en cada punto del cielo.
Toda esta luz entrante calienta el cuerpo negro objetivo hasta que irradia luz tan rápido como entra. Eso significa que el objetivo alcanza la misma temperatura que la fuente. Si pudiera aumentar el flujo por unidad de ángulo sólido, el objetivo se calentaría más que la fuente, infringiendo la segunda ley.
¿Es esto suficiente o quería un análisis técnico de la ecuación de la lente?
N. Virgo
Eduardo Guerras Valera