En el espacio-tiempo plano, ¿cuál es la forma mixta (¿invariante?) del tensor métrico?

En el espacio plano, el tensor métrico es (en una de las dos convenciones)

$$\eta^\mu{} ^\nu = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix} = \eta_\mu{}_\nu$$ Qué es $\eta^\mu{}_\nu$o $\eta_\mu{}^\nu$? ¡ Leí aquí que era lo mismo! Pero si usamos el tensor métrico para convertir componentes covariantes y componentes contravariantes, parece que la respuesta debería ser la matriz identidad.

Si usamos la definición de la métrica como los coeficientes de un elemento de longitud de arco infinitesimal$ds^2$, creo que esto también muestra que la respuesta debería ser la matriz de identidad.

¿Alguien puede explicar (de una manera sencilla para alguien que no sabe mucho sobre geometría diferencial) cómo obtener la respuesta correcta, sea cual sea? Preferiblemente con una respuesta que no solo se base en las reglas memorizadas de la notación del índice de Einstein.